iY 4- R-)ior 4- r-y
Supposons d'abord y 7^ ^ î décomposons en carrés en faisant entrer dans un premier carré tous les termes qui contiennent r ; on obtient
1 L^ ^ Aat. + (AY4-R> -[ 2 [Aai.4-(/eY + H>P ^,^,^^^ ,^^
__ R2^2(.^ — /i) -4- R2;îto2 + R2aînp = ou, en multipliant par 4y,
r2Yr 4- h(xu 4- ( ^Y + ^^H^ — ^Y^^lY — ^)^^ — ^'(^T — R^)'
— u\h^%^ 4- 4R2y(y — h)] 4- 2awio[2R2(Y — h) — h[h^ — R2)] = . Nous avons ainsi deux carrés en évidence ; il reste ensuite un
trinôme du deuxième degré par rapport à to et à t* ; la nature des carrés que donne ce trinôme dépend de la quantité
Si elle est positive, on aura deux carrés de signes contraires ; si elle est négative, on aura deux carrés négatifs, car le coefficient de w^ est négatif.
Or cette expression s'écrit
Si Ton y considère a et y comme coordonnées courantes, l'équation
représente l'ensemble des tangentes menées au cercle
a2-hY^ — R^ = aux points de rencontre avec la droite y ^ h =: 0.
Il est alors aisé de discuter la nature de la quadrique suivant la position du point A dans le plan des xz.
Dans le cas particulier où y est nul, l'équation s'écrit
R2Aw2 4- R2Au2 4- R2/^^o2 | K'^auw ■+- Mur + R2ior = 0. Nous diviserons alors ^^huo^ + K^oluw + Vt^hu'^ + R2^î;2 par
R2to + hau ; on obtient pour quotient hw h ^ — olu et pour
reste -^ ^ u^ -h R^hv^, de telle sorte que l'équation
de la quadrique devient
La nature de la quadrique dépend du signe de
Si cette quantité est positive, la surface est un paraboloïde elliptique ; si cette quantité est négative, la surface est un paraboloïde hyperbolique ; enfin si elle est nulle, Tenveloppe se réduit à une parabole.
3. Trouver Venveloppe du plan qui coupe deux sphères données suivant des cercles égaux.
L'enveloppe est un paraboloïde de révolution qui a pour axe la ligne des centres des deux sphères et pour plan tangent au sommet leur plan radical .
4. Trouver Venveloppe des plans passant par les extrémités de trois diamètres conjuguas d^un ellipsoïde.
CLASSIFICATION DES QUADRIQUES 177
On se donne Téquation d'un plan et on forme Téquation ponctuelle du cône qui a pour sommet le centre de Tellipsoïde et qui s'appuie sur la section du plan et de la surface.
11 suffît alors d'écrire que ce cône contient trois diamètres conjugués de Tellipsoïde, c'est-à-dire que l'on a
Aa2 + A'ô2 + A"c2 =z 0,
A, A', A" désignant les coefficients de rc^ y^, z^ dans l'équation du cône.
On trouvera comme enveloppe un ellipsoïde homothétique et concentrique à l'ellipsoïde donné ; on démontrera que le point où le plan variable touche son enveloppe est le centre de la section que ce plan détermine dans la surface.
5. Trouver V enveloppe des plans qui coupent un cône du second ordre suivant deux droites rectangulaires .
Soit le cône
cp(a7, 2/, z) = kx^ + Ay + k"z^ + 2Bt/^ + 2^^'zx + ^Kxy = ; considérons un plan passant par l'origine,
ux -\- vy -{- wz = 0,
et cherchons la condition pour que ce plan coupe le cône suivant deux droites perpendiculaires.
Nous allons considérer un cône passant par ces deux génératrices et contenant la normale au plan passant par le sommet, et il suffira d'écrire que ce cône est capable d'un trièdre trirectangle inscrit.
L'équation de ce cône sera de la forme
cp(a7, y, z) -\-{ax-{-i^y-\-yz){ux-{-vy-\-icz) z= 0, avec la condition
0(U, V, W) 4- (au -1-^1?+ Y10)(m2 -(- t?2 | ^^2J -. Q^
et on devra avoir
A + A' -h A" + aw + ^v + ^(w = 0.
En éliminant aw + ^v -1-710, on obtient
o{u, V, lo) — (A-hA'-^ A^Km^ + ^î + ioZ) ::^o.
En joignant à cette équation la condition r = 0, on a les équations tangentielles du cône enveloppé par les plans qui coupent le cône donné suivant deux droites rectangulaires.
6. On donne un plan P et un point ; on joint le point à un point quelconque A du plan, puis par le point A on élève un plan perpendiculaire à OA. Trouver V enveloppe de ce plan,
178 COORDONNÉES TANGENTIELLES.— GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE
7. On donne un plan P et un point ; par le point on mène un plan quelconque Q qui coupe le plan P suivant une droite A ; par la droite A on mène un plan perpendiculaire au plan Q. Trouver l'enveloppe de ce plan.
8. Par une courbe plane fermée on fait passer un cylindre que Von termine à une section droite telle que le volume du cylindre compris entre cette section et la première courbe ait un volume donné. Trouver Venveloppe du plan de la section droite.
On sait que le volume d'un cylindre tronqué est égal au produit de Tune des bases par la distance à celle-ci du centre de gravité de l'autre .
(Voir Antomari, Leçons de Cinématique et de Dynamique^ p. 209.)
Prenons pour plan des xy le plan de la courbe plane donnée, pour origine le centre de gravité, les axes de coordonnées étant rectangulaires.
Soit
ux -\- vy -\- wz -\- r = (P)
le plan delà section droite ; Taire de cette section est égale à Taire de la courbe donnée multipliée par le cosinus de Tangle du plan P avec le plan des xy ; on aura donc
yju:^ 4- V^ + \C^ y]u^ j ^,2 | -, OU
h{u^ 4- 1-2 + ic2) — \cr = 0, h désignant le rapport du volume donné à Taire de la courbe plane . On reconnaît Téquation tangentielle d'un paraboloïde elliptique. Si on transporte Torigine au point (0, 0, — A), Téquation devient A(u2 + r2) j^^ — - 0^
et en remontant à Téquation ponctuelle, on voit que le paraboloïde est de révolution autour de Oj.
9. Trouver Venveloppe d'un plan qui détaclie d^un cône de révolution un cône oblique de volume constant.
L'enveloppe est un hyperboloïde de révolution à deux nappes qui admet le cône donné pour cône asymptote.
10. Trouver l'enveloppe d'un plan qui coupe un ellipsoïde suivant une courbe telle que le cône s"* appuyant sur cette courbe et ayant pour sommet le centre de V ellipsoïde soit de révolution.
L'enveloppe se compose de trois cylindres du deuxième degré dont
CLASSIFICATION de;3 quadriques 179
les génératrices sont respectivement parallèles aux axes de Tellipsoïde.
11. On donne une qnadrique S et un point fixe par lequel on mène trois droites parallèles à trois diamètres conjugués d'un ellipsoïde
trouver Venveloppe du plan mené par les intersections de la surface S avec ces droites.
L'enveloppe est une quadrique dont il sera intéressant de discuter la nature. Examiner le cas où le point est sur la quadrique S.
Supposer ensuite que Tellipsoïde E soit une sphère, c'est-à-dire que les trois droites menées par le point forment un trièdre trirectangle.
12. Pour qu'une droite soit située sur une quadrique, il faut et il suffît que tout plan passant par la droite soit tangent à la quadrique.
Soit une quadrique déûnie par son équation tangentielle
/•(w, V, w?, r) = et une droite
P = aw -h ^v -J- yic + or =1 0,
P' =: ol'u -h fî-'t? -h y'^ + 8 V = ;
pour que cette droite soit sur la surface, il faut et il suffit que toute solution de ces deux dernières équations vérifie Téquation de la surface.
On résoudra les équations de la droite, par rapport à te et t? par exemple, et en transportant dans Téquation de la surface les valeurs obtenues, on aura un trinôme en to et r qui devra être identiquement nul.
Ainsi pour que la quadrique contienne l'axe des x, dont les équations sont
il faut que Pfi, r, lo, 0) soit identiquement nul ; et par conséquent Téquation se réduit à
aw^ + ^h'vou -+- 2h"uv + 2cwr + 1c vr + 2c" wr -h dr'^ = 0. De même, comme nous l'avons déjà trouvé (no 130), Téquation générale des quadriques contenant Ox et Oy est
2b''uv -f- 2cur -h 2c'vr -h 2c"ior + dr^ = 0. On peut obtenir, comme en géométrie ponctuelle, les équations des génératrices des quadriques.
180 COORDONNÉES TANGENTIELLES.-7 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE
Supposons qu'on ait décomposé en carrés le premier membre de réquation tangentielle de la quadrique et qu'on ait une équation de la forme
A, B, G, D désignant des fonctions linéaires et homogènes par rapport k Uj V, w, r ; on écrira
A2 — C2 = D2 — ES et on aura les deux systèmes de génératrices
A + C=X(D + B), J A 4- C = fJi{D - B), \
On démontrera aisément qu'étant données deux droites non situées dans le même plan, et définies par leurs équations tangentielles
l'équation tangentielle générale des quadriques passant par ces deux droites est
P(aP' + PQ') + Q{yP' + 8Q') =: 0,
a, p, Y> 8 étant des paramètres variables.
Si dans une question on a besoin d'introduire symétriquement deux droites non situées dans un même plan, on peut prendre comme axe des x la perpendiculaire commune à ces deux droites, comme origine le milieu de cette perpendiculaire, et comme axes des y et des z les bissectrices des parallèles aux deux droites menées par l'origine.
On déterminera ces deux droites par les équations tangentielles des points de rencontre avec Ox et des points à l'infini ; on aura ainsi
ua-\-r = 0, l ua — r = 0,
vm-\-w = 0, J vm — w = 0.
L'équation générale des quadriques contenant ces deux droites sera
{tca-hr)[aL(ua — r)+p{vm — w)]-\-{vm-\-w)[^{ua —r)-^o{vm — w)] =
ou
a[u^a^—r^)-\-(^h-\--i){amuv - wr)-h{?t—y){mvr--auw)-\-^{v^m^—y:>^) =
ou
A(u^a^—r^)-\-B{amuv — wr)-hC{mvr—auw)-\-D{v^m^^to^) z= 0. (1)
S'il n'est pas nécessaire que les axes de coordonnées soient rectangulaires, on peut choisir une infinité de systèmes d'axes par rapport auxquels les équations des droites auront les mêmes formes.
CLASSIFICATION DES QUADRIQUES 181
11 suffira de prendre pour axe des a? une droite quelconque rencontrant les deux droites données, pour origine le milieu de cette droite, enfin pour axes des y et des z deux droites conjuguées harmoniques par rapport aux parallèles aux deux droites menées par Torigine .
13. Étant données deux droites non situées dans un même plan, on fait passer par ce^ droites un paraholoide hyperbolique auquel on mène un plan tangent parallèle à un plan fixe. Trouver le lieu du point de contact.
L'équation du paraboloïde peut être mise sous la forme (1) de la note précédente, le plan ^i\q donné étant parallèle au plan des xy , Pour que Téqualion représente un paraboloïde, on doit avoir A = 0; on peut ensuite diviser par D, et on a Téquation
\[amuv — wr) + \i.{mvr — auw) -h v^m^ — w^ =: (i.
Soit un plan tangent parallèle au plan des xy,
z-{'h= 0; on aura
X/*-Hl = 0, (1)
et les coordonnées du point de contact seront données par
— lia \Lmh — kk — 2 — X ^ '
En éliminant X, [jl et ^ entre les équations (1) et (2), on aura
Téquation du lieu,
mzx — ay = 0,
qui représente un paraboloïde hyperbolique.
14. Trouver V enveloppe des plans bissecteurs des diè dres circonscrits à une quadrique, les arêtes de ces dièdres étant dans un plan fixe,
15. Démontrer quHl existe un cône du deuxième degré tangent aux six faces de deux trièdres trirectangles qui ont même sommet,
16. Propriétés du cercle de Tinflni. — Nous nous proposons de généraliser dans cette note les théorèmes établis au no 135.
Théorème l. — L'angle de deux droites est égal au produit de — .
par le logarithme népérien du rapport anharmonique formé par les traces des droites sur le plan de Vin fini et par les points de rencontre du cercle de Vinfini avec la droite joignant les deux traces. Soient a, p, y et a', P', y' les paramètres directeurs des deux
182 COORDONNÉES TANGENTIELLES.— GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE
droites ; Tangle V de ces droites est donné par la relation c.n.Y= a«- + fi^- + Tr
Les tracés des droites sur le plan de Tin fini ont pour coordonnées a, p, Y» et a', ^', y', ; un point quelconque de la droite joignant ces traces a pour coordonnées a + W, ^ + X^', y + Xy', 0, et les valeurs de X relatives aux points de rencontre de cette droite et du cercle de Tinfini sont racines de l'équation
(a H- XaT + (p -+- X(i')2 + (y -h Xy')2 = ou
X2(a'2 H p + y'') + 2X(aa' + ^fî' + yï') + «^ ,. ^2 ^ .^2 q.
Or, un des rapports anharmoniques des quatre points considérés est égal au quotient des racines de cette équation. On aura donc, en désignant le rapport par p,
ou
— cos V — i sin V c«^
^ — cos V + t sin V eri^ On en tire
et le théorème est démontré.
Dans le cas particulier où les quatre points forment une division harmonique, on a
Lp = TTl,
à un multiple près de 27rt, et par suite
Théorème 11. — Uangle de deitx plans est égal au produit de ^.
par le logarithme népérien du rapport anharmonique formé par les deux plans et par les plans tangents menés au cercle de l'infini par Vintersection des detuv plans donnés.
Soient les deux plans
Ax + By-\-C2-\-Dt = 0, A'a? + B't/H-C'j4-D'« = 0; leur angle V est donné par
