AA' + BB' + CC

cos V =

CLASSIFICATION DES QUADRIQUES 183

Pour qu*un plan passant par Tintersection

(A + U> + (B -h XB')y + (G + XC')-a + (D + W)t = soit tangent au cercle de Tinfîni, il faut qu'on ait

(A 4- XA')2 H- (B +XB')2-f-(G 4- XC'j2 = 0.

On verra comme plus haut que le rapport anharmonique p de ces quatre plans est égal à e^^'v, ce qui démontre le théorème.

Si les quatre plans forment un faisceau harmonique, les deux plans donnés sont perpendiculaires.

Pour déterminer par un procédé semblable Tangle d'une droite et d'un plan, on prendra l'angle complémentaire de l'angle de la droite et d'une normale au plan, en remarquant que cette normale rencontre le plan de Tinfîni au pôle du plan donné par rapport au cercle de l'infini.

17. Étant donné un hyperholotde à une nappe, on considère les cordes D de cette surface qui sont vues de son centre sous un angle droit, et Von demande :

lo Véqttation du cône, lieu géométrique des cordes D qui passent par un point donné S, ainsi que les positions du point S pour les-, quelles ce cône est de révolution ;

2** La courbe à laquelle sont tangentes toutes les cordes D situées dans un plan donné P, ainsi que les positions du plan P pour lesquelles cette courbe est une parabole ou une circonférence de cercle,

(Concours générai, 1885.)

La question revient à étudier le complexe formé par les droites D.

Cherchons d'abord l'équation de ce complexe.

Soit la droite

elle rencontre la surface donnée,

Aa?2 + B-yi -h Cs^ — | =0, en deux points, et les valeurs de p relatives à ces points sont racines de l'équation

A(x' -+- ap)2 + B(t/' -h ?p)2 + C[z' + Yp)2 -1=0 ou p2(Aa2-^B^2+CY2)-f-2pfAaa;'+Bpî/'^-CY2')^-Aa?'2+B^/'2-f-C^'2— 1 = 0.

Soient pi et p2 les racines de cette équation ; pour que la corde soit vue du centre sous un angle droit, on doit avoir

(x' -4- 0Lpi)(x' -+- apa) + {y' + ?pi)(2/' 4- M H- (s' -h Ypi)(-2' + YPa) = ou (a2 -+. p2 ^ .^2)pjp2 + (pi -h p2){otx' -h ^py' -H Y^') -h x"' 4- y'^ H- -s'^ =

OU encore, en remplaçant pip2 et pi -f- p2 par leurs valeurs,

(a2+p2^.^2XAa;'2+B</'2+C^'2-i )--2( Aouc'+ BPi/'+ Gy;?'J(«^'H- ?/+ ï^')

-h(a?'2+t/'2|..'2)(Aa2+B^2+c^2)--o.

Cette équation peut s'écrire

A[(Ya?' -a3')2 + (ay' - i^x^] + B[(at/' — px')^ + (^j' ~ Yt/')2]

+ C[(Pa' - Yy')2 -+- i^x' - ol2')Y - (a^ + ^2 + ,^2) - q OU encore, en adoptant les notations du n° 22,

(B+ C)/2 + (C + A)m2 + (AH-B)n2 — (a^ + ^2 + .^2) q.

Telle est l'équation du complexe.

Nous obtiendrons les équations du cône et de la conique du complexe en opérant comme on l'a indiqué dans la note H du chapitre 11.

1- L'équation du cône du complexe de sommet (a?', y', z') sera (B + C){yz' - zy'f -h (C + A){zx' — xz'f -h (A + '&)(œy' — yxj

— [{x - xy + (2/ - 2/')' + U — -5?] = ; on trouvera aisément les conditions pour que ce cône soit de révolution.

2° L'équation tangentielle de la conique du complexe qui est située dans le plan P(tt', v', to', r') est (B + C)(«/ — m')2 4- (C + A)(vr' — rv')^ 4- (A H- B)(tor' — rw'f

— [{vw' — tot?')2 + [wu' — uwy + {uv' — i?w')2] =: 0.

Pour que cette conique représente une parabole, il faut que le coefficient de r^ soit nul, c'est-à-dire qu'on ait

(B + G)w'2 + (G + A)v'2 + ( A + BK2 = ; ce qui montre que le plan P doit être tangent à la conique de l'infini du cône

Bh-G^C + A^A + B"" Gherchons maintenant les conditions pour que la conique du complexe soit un cercle.

On voit tout d'abord que si r' = 0, l'équation s'écrit

r2[(B + GK2 + (G + A)v'2 + (A + B)7^'2]

— [{vw' — wv')^ -f- [wu' — uw')^ + (uv' — vu')^] = ; elle représente un cercle ayant pour centre l'origine.

D'une manière générale, pour que l'équation (1) représente un cercle, il faut que l'expression (B + C)(ur' — ru'f + (G + k){vr' — rv'f + (A + B)(w?r' — rw'f

+ \{[vxo' — wv')^ H- [wu' — uw')^ -h [uv' — t?tt')2] soit carré parfait (138).

CLASSIFICATION DES QUADRIQUES 185

On peut récrire

r2[(B + CK2 + (G -+- A)t?'2 -H (A + B)w'^]

— 2r[uu'r'{n -h C) -h vv'r'{C + A ) + icw'r'(k -h B)]

+ t*2[(B + C)r'2 4- X(t?'2 +to'2)] +î,2[(c + A)r'2 + X(t/?'2 + u'^)]

+ w?2[(A + B)r'2 + X(t*'2 + 1?'2)] — 2lv'w'vw — 2Xio Vtou — 2Xu'î?'t/r.

Considérons cette expression comme un trinôme en r,

formons la condition