N2 MP
et écrivons que le premier membre, qui est fonction de m, r, w, est identiquement nul.
On a les relations, où Ton pose, pour simplifier récriture,
X(tj'2 4- w'^XoLu'^ -+- ^v'^ ■+■ Yio'2) 4- ar'H^v'^ -+- Y^?"^) = 0, X(«?'2 4- M'2)(aM'2 + pîj'2 4- ^pjo'^) + pr'2(aw'2 + Yio'2) = 0,
X(u'2 + î?'2)(au'2 + pr'2 ^ ^^'2) ^. yr'2(aM'2 + p»i?'2) == 0, v'io'[X(aM'2 + pv'2 +Yto'2) + p^y.'2] — 0, to'u'[X(att'2 + pt?'2 -f- Y-i^o'^) + Y»^'^] = 0, wVfA(aM'2 + p»v'2 + Y^'^) + a^^'^l = 0. Si l'on suppose u'î?'io' y6 0, les trois dernières équations donnent r' = 0, X = ; on a le cas étudié plus haut. Soit maintenant
les équations qui précèdent se réduisent à deux,
X(i?'2 + io'2) + ar'2 = 0,
X{pv'2 4- YW''^) -+- fir'^ = ; on en tire, en éliminant X,
g,^(tj'2 4. ^'2) ai^v'^-hyw'^) = 0, ou, en remplaçant a, p, y par leurs valeurs,
On en déduit
v/A2 — B2 di /— iA2 — C2)
et comme Ton a u' = 0, on voit que les plans qui contiennent les cercles du complexe sont parallèles au plan
yv^A2 — B2 ztz^/—{A''--C^) = 0.
186 COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE
En supposant ensuite que v' et lo' sont nuls, on obtient les plans parallèles aux plans
VB'^ — A2 ±: j^-(B2--C2) = et
x^C^ — A2 ih t/v^— (C!^ - B2) = 0.
' En résumé, pour que la conique du complexe située dans un plan P soit un cercle, il faut que ce plan passe par Torigine ou bien soit parallèle à Tun des six plans représentés par les équations précédentes.
18. Étudier le complexe des droites telles que, par chacune d'elles^ on puisse mener deux plans tangents rectangulaires à un ellipsoïde donné.
Consulter sur ce sujet la note IV dans la géométrie analytique à trois dimensions de M. E. Pruvost.
19. Étant donné un ellipsoïdey de centre 0, et un cône du second ordre Q, de sommet S, on considère un trièdre Oa^y, dont les arêtes forment un système de diamètres conjugués de Vellipsoïde et on prend le point d'intersection de chaque arête de ce trièdre avec le plan diamétral qui lui est conjugué dans le cône Q. On obtient ainsi trois points A, 6, G qui déterminent un plan P.
i^ Démontrer que le plan P passe par un point fixe F quand le trièdre Oa^y ''oarie,
2» Les points S ô< F déterminent une droite D; trouver le lieu des droites D qui passent par un point donné w, lorsque le cône Q se déplace en restant égal et parallèle à un cône fixe,
3" Trouver, dans la même hypothèse, V enveloppe G des droites D qui sont situées dans un plan donné H.
4° Trouver le lieu des foyers des courbes G lorsque le plan H se déplace en restant parallèle à une droite donnée.
[Agrégation, 1892.)
On lira avec intérêt une remarquable solution de M. E. Borel, dans le tome 11 de la Revue de mathématiques spéciales, p. 17.
139. Plans conjugués. — On dit que deux plans sont conjugués par rapport à une surface de deuxième classe lorsqu'ils divisent harmoniquement les plans tangents menés à la surface par leur intersection.
Soit Téquation de la surface
/■(w, v^ w, r) = au^-{- a'u^H =0; (1)
désignons par (wo, vo» w^o, ^o) et (wi, t?i, Wi^ Vi) les coordonnées de deux plans.
Un plan quelconque passant par Tintersection I de ces deux plans a pour coordonnées Uq-{-1ui^ î^o ~^" ^^i» Wq-^Iwi, Tq -h 'kr^ ; les valeurs de X correspondant aux plans tangents menés par la droite I àla surface sont déterminées par Téquation
f(uo -h Xwi, Vq -h Xui, Wo -h Xti^i, ro -+- Xrj) = ou, en développant,
/(mo, Vo, Wo, ro) H- ^uJ'uq -H t^i Ao + «^lAo -^ ^i Ao)
-hXY(wi, vi, Wi, r,) = 0.
Pour que ces deux plans tangents soient conjugués harmoniques par rapport aux deux plans donnés, il faut que les valeurs de X déterminées par Téquation qui précède soient égales et de signes contraires ; on doit donc avoir
188 COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE OU
Ce raisonnement s'applique au cas où l'équation (1) représente une conique ou deux points.
Si réquation représente une conique, deux plans seront conjugués par rapport à cette conique si leurs traces sur le plan de la courbe sont conjuguées par rapport à cette conique.
Si réquation représente deux points, deux plans seront conjugués par rapport à ces deux points si leurs points de rencontre avec la droite joignant les deux points donnés sont conjugués harmoniques par rapport à ces deux points.
140. Pôle d'un plan. — Théorème. — Les plans conjugués d'un plan fixe passent par un point fixe qu'on appelle le pôle du plan.
Soient-Wo, Uq, Wq, r^, les coordonnées du plan fixe P, et w, V, iv^ r celles d'un plan conjugué quelconque. On a la condition
qui exprime que le plan (u, u, w^ r) passe par le point qui a pour coordonnées A,, A^' Ao^ A-
Ce point est le pôle du plan P, et Téquation (2) est l'équation de ce pôle.
D'après ce qu'on a vu plus haut (104), ce point est le sommet du cône circonscrit à la surface le long de la courbe section par le plan P.
141. Pour que ce plan existe, il faut que les quatre dérivées ne soient pas nulles en même temps.
Si l'équation (1) représente une véritable quadrique, un plan quelconque admet un pôle bien déterminé.
Si l'équation (1) représente une conique, les quatre dérivées partielles A^, /ï^, etc. ne sont nulles que pour les coordonnées du plan de la conique ; il en résulte qu'un plan quelconque aura un pôle, à l'exception du plan de la conique, dont le pôle est indéterminé.
Il est clair que le pôle d'un plan sera le pôle par rapport à la conique de la trace du plan sur le plan de la conique.
Enfin si l'équation représente deux points, tout plan ne contenant pas la droite joignant les deux points a un pôle bien déterminé^ qui est le conjugué harmonique, par rapport aux deux points, du point de rencontre du plan et de la droite joignant les deux points ; tout plan passant par la droite joignant les deux points a un pôle indéterminé,
142. Proposons-nous maintenant de chercher si deux plans (wo> vo, ^0^ ^o) et (mi, Vi, w^ n) peuvent avoir le même pôle par rapport à une surface.
On doit avoir
/uj /vj fw^ Jr^^
OU
Or les premiers membres de ces équations peuvent s'obtenir en remplaçant dans les fonctions /*„', /"J, fi,, fi. les variables M, V, w, r respectivement par Wo -H ^wi, vq 4- Àui, Wo -h Xt^i, ro + Xri.
On doit donc avoir pour une valeur déterminée de X,
fu{uo + Xwi , Vo -h Xv, , Wo -h Iwi, n + Xr,) = 0,
t tv\ * • ' • • • • • • . . . J = U,
Ces égalités sont impossibles si le discriminant de la fonction f[u^ v, w, r) est différent de zéro.
On en conclut que si l'équation (1) représente une véritable quadrique, deux plans différents ont des pôles différents.
190 COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS L'eSPACE
Si réquation représente une conique, deux plans auront le môme pôle s'ils ont même trace sur le plan de la conique.
Enfin si l'équation représente deux points, deux plans auront le môme pôle s'ils rencontrent au même point la droite qui joint les deux points.
143. Plan polaire d'un point. — On appelle plan polaire d'un point le plan qui a,ce point pour pôle.
Soit le point (aro, yo, ^o, ^o) ; si Wo, Vo, m^o, ^o désignent les coordonnées du plan polaire de ce point, on aura
— /uq = auo -h b"vo -4- b'wo -4- c/'o = >^o, Ao — b'uo-hàvo-i-a"iVo 4- cVq = ko,
-- /ro = cuo -h c'vo -h c"wo -h rfro = lio.
Tout revient à résoudre ce système par rapport à Wo, vq, w^, n. Premier cas. — Supposons qu'on ait a b" b' c b" a! b c'
c'est-à-dire que l'équation (i) représente une véritable quadrique.
On peut alors résoudre le système (3) d'après la règle de Cramer ; on a
Amo = X( Aaro + B'^o -4- B'zo 4- C<o),
Auo = X(B"aro -f- A^o -h Bzo -h C7o),
Az/;o = X(B'xo+ Byo + A"zo + C'7o),
Aro = X(Ca:o + C'yo -4- C/so + D/o), '
qu'on peut écrire
en désignant par
cp(ar, y,z,t) = kx^ -h A'y* -h A'z^ -+- 2Bt/z -h 2B'zaî -4- ^B'xy
+ 2Ga?^ + 2C'y^-h2C'z<-hD^^ = Téquation ponctuelle de la surface.
L'équation du plan polaire sera donc
^?io -^ Vf S/0 -*- 2?^o + ^'f îo = ^' résultat bien connu.
Rappelons que deux points sont conjugués quand la droite qui les joint rencontre la surface en deux points conjugués harmoniques par rapport à ces deux points ; chacun d'eux est alors situé sur le plan polaire de l'autre, et la relation qui lie les cordonnées Xq, î/oî ^o, ^o et a?i, t/,, z,, t^ de ces deux points est
Deuxième CAS. — Supposons A = 0, et l'un au moins de ses mineurs du premier ordre différent de zéro, par exemple a h" \S= h' a'
h' h a" L'équation représente une conique.
On peut résoudre les trois premières équalions du système (3) par rapport à wo, ^'o, i<?o, et, en transportant ces valeurs dans la qua-
^or).
trième équation, on
obtient a h" h'
cro —
Ixo
c'n — Xi/o
c'Vo — X^o
dvQ — X^o
ou, comme A = 0,
h' xo
c" to
(*) Cela revient à supposer que l'origine n'est pas dans le plan de la conique (129).
192 COORDONNÉES TANGENTIELLES.— GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE
Le coefficient de X peut s'écrire
Oo + C'yo + CzQ -h D<o OU — o;^ ;
égalé à zéro, il exprime la condition pour que le point {xq, i/o, zo, k) soit dans le plan de la conique.
Le système (3) est alors équivalent au système suivant :
T Ao — >^o = ,
l/-;^-Xi/o = o, Ào;, = 0. /
Nous aurons deux cas à distinguer.
1^ Le point [xo, i/o, ^o, ^o) n'est pas dans le plan de la conique.
Le coefficient de X étant différent de zéro, pour que la quatrième
équation soit satisfaite, il faut qu'on ait
les trois premières équations se réduisent alors à
Ao = 0» Ao = 0, Ao = ^ ;
elles déterminent le plan de la conique.
Ainsi, tout point en dehors du plan de la conique a pour plan polaire ce plan.
2® Le point (ojo, yo, -o, to) est dans le plan de la conique.
Le coefficient de X est nul, et le système (4) se réduit aux trois premières équations.
On en conclut que les coordonnées du plan polaire vérifient les équations
/*«o Ao /""'o
Xq i/o 2çs
Si Ton y considère wq, ro, i^'o, ^o comme coordonnées courantes^ ces équations représentent une droite, et tout plan passant par cette droite est plan polaire du point (a?o, t/o, 20, ^0).
Cette droite est dans le plan de la conique, elle est par rapport à cette conique la polaire du point donné.
Troisième cas. — Supposons A = 0, et tous les mineurs du premier ordre nuls.
Dans ce cas, Téquation (2) représente deux points distincts P et Q. Supposons, par exemple, que le mineur
soit différent de zéro ; on peut alors résoudre les deox premières équations du système (3) par rapport à Uq et «q, et en remplaçant dans les deux antres on a
b" b'wQ -\-crQ — ^0
a' ôico -h cVq — li/Q = 0,
b oI'wq h- c*ro — X^o
b" b'wç^'
• cr^f — ÂXo
^0 -<- <^'^o — ^yo
qu'on peut écrire, puisque tous les mineurs du premier ordre de A sont nuls,
Si on se reporte au numéro 126, on voit qu'en égalant les coefficients de X à zéro, on obtient les conditions pour que le point {xo, yo, ^0, to) soit sur la droite PQ.
Le système (3) est. équivalent au système suivant :
b" a' yo b' b zo a V œo
b' a' yo c c' to
1« Le point (xo, yo, ^o, *o) n'est pas sur la droite PQ. Les deux dernières équations donnent alors
X = 0; le système se réduit aux deux équations
Ao = 0, n, = 0,
qui admet pour solutions les coordonnées de tous les plans passant par la droite PQ.
COORDONNÉES. — I t3
194 COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE
On en conclut que tout point en dehors de la droite PQ admet comme plans polaires tous les plans passant par cette droite.
2° Le point (a^o, yo, -3:0, ^0) &st sur la droite PQ.
Les deux dernières équations du système (5) sont vérifiées quel que soit X, le système se réduit aux deux premières équations ; on voit que les coordonnées du plan polaire satisfont à l'équation
Si Ton y considère t^, Vq, ioq, Vq comme coordonnées courantes, cette équation représente un point situé sur la droite PQ, et tout plan passant par ce point est plan polaire du point {xq, 2/0» -0» ^o)- Ce point et le point donné divisent harmoniquement les points P et Q.
Quatrième cas. Supposons que \ soit nul, ainsi que tous ses mineurs du premier et du second ordre.
L'équation (1) représente un point double.
Supposons a 96 ; on peut tirer Uq de la première équation du système (3), et en remplaçant dans les trois autres, on obtient le système équivalent
xo
iCO
-îo
a xo c to
Si on annule les coefficients de X dans ces trois dernières équations, on a
xq ^2/0 ^0 ^0
«lies expriment que le point donné coïncide avec le point double, €ar f{u, Vf Wf r) étant carré parfait, sa racine est proportionnelle à une dérivée partielle, /\^, puisque a:ytO.
l» Supposons que le point (xq, t/o» ^o> ^0) ^^ coïncide pas avec le point double.
Les coefficients de X dans les trois dernières équations du système (6) n'étant pas tous nuls, on doit avoir X = 0, et il reste
Ao = 0.
Cette condition exprime que le plan polaire passe par le point double .
2° Le point [œ^^ i/q, ^q, t^) coïncide avec le point double. Les trois dernières équations du système (6) sont vérifiées quel que soit X ; il reste Téquation
y Ao — ^^^0 = 0,
qui est vérifiée par les coordonnées d'un plan quelconque, puisque X est arbitraire ; le plan polaire du point double est entièrement indéterminé.
144. On peut résumer tous ces résultats de la manière suivante :
^° Si réquation (1) représente une véritable quadrique, un plan quelconque a un pôle bien déterminé, et un point quelconque a un plan polaire également bien déterminé.
2** Si l'équation (i) représente une conique C, située dans un plan ^, tout plan autre que le plan P admet un pôle bien déterminé qui coïncide avec le pôle par rapport à la conique G de la trace du plan sur le plan P. Le plan P a pour pôle un point arbitraire de l'espace .
Tout point en dehors du plan P a pour plan polaire le plan P, tout point situé dans le plan P a pour plans polaires tous les plans passant par la polaire du point par rapport à la conique G.
3" Si l'équation (i) représente deux points distincts, A et B, tout plan ne passant pas par la droite AB a un pôle bien déterminé, qui est le conjugué harmonique, par rapport à A et B, du point de rencontre du plan avec la droite AB. Tout plan passant par la droite AB admet pour pôles tous les points de l'espace.
Un point quelconque non situé sur la droite AB a pour, plans polaires tous les plans passant par AB ; un point quelconque de la droite AB admet pour plans polaires tous les plans passant par le conjugué harmonique du point par rapport à A et B.
4® Si l'équation (I) représente un point double, tout plan ne passant pas par le point double a pour pôle ce point double, et tout plan passant par le point double a pour pôle un point quelconque de l'espace.
Tout point autre que le point double a pour plan polaire un plan quelconque passant par le point double, et le point double a pour plan polaire un plan quelconque de l'espace.
145. Droites conjuguées. — Soit une droite quelconque D. Si un plan tourne autour de cette droite, le pôle de ce plan décrit une autre droite D'.
Soient^ en effet, Pi(wî, Ui, w^^ n) et P2(w2, ^2, w^^ r^) deux
196 COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS L'eSPACE
plans passant parla droite D; un plan quelconque passant par cette droite a pour coordonnées
les coordonnées du pôle de ce plan sont alors
fu, 4- if'u, , A, + ¥i, , A', + Vu, . A +¥^..
Par conséquent quand X varie, ce point décrit la droite D qui joint les pôles Ai et Ag des plans Pi et P2.
Réciproquement, tout plan passant par D' a son pôle sur D.
Soit un plan F(m\ v\ w\ /) passant par la droite D' ; ce plan contient alors les points Ai et A^, et on a
uri,-hvrv,-^w%^-hr^f^^ = 0, qu'on peut écrire
wi A' -H ^lA' -t- w^i A-' + nf'r' = 0,
ce qui montre que les plans Pi et Pa passent par le pôle du plan P', autrement dit que ce pôle est situé sur la droite D. On appelle droites conjuguées deux droites qui jouissent des propriétés des droites D et D', c'est-à-dire qui sont telles que le plan polaire d'un point quelconque de Tune passe par l'autre.
146. Si par une droite on mène des plans tangents à une quadrique, la droite qui joint les points de contact est la droite conjuguée delà droite donnée.
Cela résulte de ce que le pôle d'un plan tangent est le point de contact.
De même, si on mène les plans tangents aux points de rencontre d'une droite et d'une quadrique, l'intersection de ces plans est la droite conjuguée de la droite donnée.
147. Si par une droite D on mène un plan qui coupe une quadrique suivant une conique, le pôle A de la droite D par rapport à cette conique est sur la droite conjuguée. .
En effet, le plan polaire du point A contient la droite D, donc le point A appartient à la droite conjuguée de la droite D.
On en conclut que si le plan sécant tourne autour de la droite D, le point A décrit la droite conjuguée de cette droite.
148. Supposons qu'une droite D soit tangente à une quadrique en un point A, tous les plans passant par la droite D auront leurs pôles dans le plan tangent à la quadrique au point A ; il en résulte que la droite D', conjuguée de la droite D, est située dans le plan tangent en A et passe par le point A.
De plus, les deux droites D et D' doivent former un faisceau harmonique avec les génératrices de la surface passant au point A, car il est visible que toute droite qui rencontre deux droites conjuguées doit couper la surface en deux points conjugués harmoniques des points de rencontre avec les droites conjuguées.
Si la droite D est une des génératrices de la surface passant par le point A, la droite conjuguée D' se confond avec la droite D.
149. Dans ce qui précède, nous avons supposé que Téquation (1) représentait une véritable quadrique.
Supposons maintenant qu'elle représente une conique.
Une droite D rencontrant le plan de cette conique en un point A aura pour conjuguée la polaire du point A par rapport à la conique.
Toute droite située dans le plan de la conique aura pour droite conjuguée une droite quelconque passant par le pôle de la droite donnée par rapport à la conique.
150. Tétraèdres coDjugaés. — On dit qu'un tétraèdre est conjugué par rapport à une quadrique (que nous ne supposerons pas réduite à une conique) lorsque chaque face a pour pôle le sommet opposé.
198 COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE
Il existe une infinité de tétraèdres conjugués par rapport à une quadrique.
En effet, soit Pi le plan polaire d'un point arbitraire A,. Prenons dans le plan Pj un point quelconque Aj ; le plan polaire Pî de A2 contient Ai.
Les deux plans Pi et P2 se coupent suivant une droite ; si l'on choisit sur cette droite deux points A3 et A^ conjugués par rapport à la quadrique, les quatre points Ai, A2, A3 et A4 seront les sommets d'un tétraèdre conjugué.
Les éléments d'un tétraèdre conjugué dépendent de six paramètres indépendants, car le point Ai est arbitraire (trois paramètres), le point A2 est arbitraire dans le plan Pi (deux paramètres), enfin le point A3 est arbitraire sur la droite intersection de Pi et de P2 (un paramètre).
Remarquons que si un tétraèdre est conjugué par rapport à une quadrique, deux sommets quelconques, deux faces quelconques et deux arêtes opposées quelconques sont conjugués par rapport à la quadrique.
