Équation générale des points situés sur une droite
Soient
P = au-h bv-^ cw -h dr = 0,
les équations de deux points A et A' situés sur la droite ; nous
allons montrer que l'équation générale des points situés sur
cette droite est
XP+ixF = 0, (7)
X et [x désignant des nombres arbitraires.
Remarquons d'abord que quels que soient X et ^x, Téquation (7) représente un point situé sur la droite AA\ car cette équation est vérifiée par les systèmes de valeurs de m, v, w, r qui annulent P et F, c'est-à-dire par les coordonnées de tous les plans qui passent par la droite AA' ; le point représenté par Téquation (7) étant situé dans tous ces plans se trouve sur la droite.
Il nous faut maintenant établir que Ton peut déterminer X et II en sorte que l'équation (7) représente un point M, choisi arbitrairement sur la droite AA'.
Menons par le point M un plan quelconque ne contenant pas la droite AA' et ayant pour coordonnées Wi, vi, Wi, ?•,, et déterminons X et (a de telle manière que Téqualion (7) soit vérifiée par ces coordonnées ; on aura
XP, + txF, =0,
?! et Pi désignant respectivement ce que deviennent P et P' quand on y remplace w, v, «s r par Wi, u,, Wi, Vi. On déduit de cette relation
x = p;, K = -Pi,
et en transportant dans l'équation (7), on a p;p — P,P' = 0,
équation qui représente un point situé sur la droite AA' et dans le plan {iii^ Uj, Wi, 7\). Ce point est donc le point M, et la proposition est établie.
Cette dernière équation peut s'écrire
elle représente un point situé à l'intersection du plan
(mi, «1, Wi, n) et de la droite qui joint les deux points qui ont
pour équations
Ce résultat est souvent utilisé.
14. Condition pour que trois points soient en ligne droite. —
Désignons par
Pj = a^u -h 6,v -+- CiW -+- d,r = 0, Pj = a^u 4- biV -f- c^w -+- d^r = 0, Pg = a^u -h biV -H c^w 4- rfgr =
les équations des trois points Ai, A2, A3.
Si le point A3 est sur la droite A1A2, son équation peut
s'écrire
XPi-hH-Ps = 0;
cette équation représentant le même point que Téquation
P3 = 0, leurs coefficients devront être proportionnels, et on
aura
XPi -h (1.P2 = — vPg
ou
XPi-MJlP2-+-vP3 = 0.
Réciproquement, s'il existe trois nombres X, jjl, v tels que cette identité ait lieu, les trois points Ai, A2, A3 sont en ligne droite. On tire en effet de cette identité
— vP3 = XPi+JJlP2,
ce qui prouve que le point A3 est sur la droite A1A2.
On peut donc dire que la condition nécessaire et suffisante pour que les tî'ois points soient en ligne droite est quHl existe trois nombres X^ [x^ v différents de zéro en sorte qu'on ait l'identité
XPi-h[^P2-i-vP3 = 0.
Développons cette identité , c'est-à-dire écrivons que les coefficients de w, u, w^ r sont nuls ; on a
Xai -I- (ia2 -1- ''«3 = , X^i-h [1Ô2-I-V63 = 0, Xci H- [JIC2 -+-*vC3 = 0,
Idi -\- ixd2 + Vrfg = 0.
Pour qu'on puisse trouver des valeurs de X, jji, v non toutes nulles vérifiant ces équations, il faut et il suffit que les quatre déterminants à neuf éléments qu'on peut déduire du tableau «1 61 Cl di
a^ 62 Cl di
a.i ^3 C3 G?3 soient nuls.
Cela ne fait en réalité que deux conditions distinctes; il suffît d'annuler deux de ces déterminants, pourvu qu'ils contiennent un même mineur différent de zéro.
Ainsi, par exemple, si Ton a
les deux conditions seront
aj bi di
a2 ai di
fla h C3
15. Exercice. — On donne un triangle ABC et un point quelconque dans Vespace, Le plan passant par le point et perpendiculaire à OA rencontre le côté BC en A' ; le plan passant par et perpendiculaire à OB rencontre CA en B' ; enfin le plan passant par et perpendiculaire à OC rencontre AB en C . Démontrer que les points A', B', C sont en ligne droite.
Prenons trois axes rectangulaires quelconques passant par le point et désignons par (xu 2/1, -1), (^ca, 2/2, -2), (a?3, 2/3, -3) les coordonnées des trois sommets A, B, C du triangle; alors les équations de ces points sont
Pi = uxi H- t?t/i H- wzi -t- r = 0,
P2 = tiXi H- vy.2 4- WZ2 + r = 0,
P3 = ux^ H- vyz + 1053 -f- r = 0.
Le pian passant par l'origine et perpendiculaire à OA a pour coordonnées Xi, 1/1, ^1, ; il résulte de la remarque faite à la fin du numéro 13 que l'équation du point A' est
y^i -f- '^y-i -t- wzj -+- r ux^ H- t?î/3 -+- 10^:3 -h r
^ia;2 -h 2/1^2 -f- ^1-2 ~~ XiXz-\-y^yz-irZiZz qu'on peut écrire en posant, pour simplifier,
En faisant une permutation circulaire des indices, on obtient les équations des autres points B' et C,
P3(12)-.p,(23)=:0, Pi(23)-P2(3l) = 0.
16 COORDONNÉES TAN6ENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE
En ajoutant membre à membre ces trois équations, on obtient une identité, donc les points A', B', C sont en ligne droite.
16. Plan passant par trois points. — Considérons maintenant trois points noii en ligne droite,
Pj = ttiu -h biV -h CiW H- div = 0, ]
Pa = fljw -+- biV -h CiW + d2r = 0, ? (8)
P3 = a^u -h b^v H- c^w -h rfgr = ; )
cela revient à supposer que les déterminants à neuf éléments qu'on peut déduire du tableau
fli bi Cl di
ne sont pas tous nuls.
Dans ces conditions, si Ton résout les équations (8) par rapport à w, u, w, r, on obtient un système de valeurs déterminées à un facteur constant près, et ces valeurs sont les coordonnées du plan passant par les trois points.
On trouve ainsi
ô, Cl di
bi C2 dz
bz C3 dz
«1 bi di
«3 ^3 dz
tti Ci di
d^ Ci (^2
ag C3 dz
Ui bi d fla ^2 C2 «3 bz Cz
réquation de ce plan peut alors s'écrire X y z t
Ol
bi
Ci di
az
bz
Cz dz
résultat bien connu.
