Quadriques coDjuguées par rapport à un tétraèdre
On dit qu'une quadrique est conjuguée par rapport à un tétraèdre, lorsque le tétraèdre est conjugué par rapport à la quadrique.
Nous allons chercher l'équation générale des quadriques conjuguées par rapport à un tétraèdre.
Supposons d'abord que l'on prenne pour axes de coordonnées trois arêtes aboutissant à un même sommet, OA, OB, OC ; OA étant l'axe des or, OB l'axe des y et OC Taxe des z.
Posons en outre
ÔX = a, ÔB = p, 0C = ^.
L'équation générale des quadriques est
/■(w, V, w^ r) = au^ -H wv^ -}- a"w^ -h ^bviv -4- ••• rfr^ = 0.
Écrivons que le pôle du plan yOz est le point A. L'équation du pôle de ce plan est
. f^ = au-\- b"v -h b'w -h cr = ;
on doit avoir
En écrivant que le plan zOx a pour pôle le point B, on a ô'' = 0, ^ - 0, -^ = p.
En écrivant que le plan xOy a pour pôle le point G, on a 6 = 0, 6' = 0, -^ = f
On trouve donc déjà les conditions, au nombre de six,
a = COL, a' = (/p, a" = c'y,
Si ces conditions sont remplies, sera le pôle du plan ABC. L'équation de la quadrique devient alors
coLU^ -h c'^v^ -h c"^w^ -4- 2cMr + 2c' vr 4- 2chvr + rfr' =
ou encore
Cette équation peut s'écrire
A(wa -+- r)« + B(u? -+- ry h- C(z^y -^ ^Y + ^r^ = 0/ A, B, C, D désignant des nombres arbitraires.
Supposons maintenant que le tétraèdre soit rapporté à des axes quelconques, et désignons par (a?i, t/i,3i), [x^^yi^z^), i^Zf !/3i 23)7 (^4î !/4î 2+) les coordonnées des sommets Aj, A2, A3, A4.
Si nous prenons pour axes de coordonnées les directions A4A1, A4A2, A4A3, l'équation générale des quadriques conjuguées par rapport au tétraèdre sera
X{u'a + 7^)2 -f. B(v'p -h r')^ -h C(m;'y + ^)' ■+- ^^^ = ^^ a, p, Y désignant les longueurs des arêtes qui aboutissent au sommet A4.
200 COORDONNÉES TAN6ENTIELLE6. — GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE
Revenons aux premiers axes, en utilisant les formules de transformation (i) du numéro 50 et en remarquant que les
Xi — Xi. Vi — Vi
coordonnées du point directeur de A4A1 sont
-^ ■* ; pour la direction A4A, ces quantités sont -^-r — »
V2 — Vi 2» — Zl
Q , — - — » etc. ; on aura donc
u{Xi — x,) v{y, — yO , M^i — ^O
u{x^ — x,) %8 — yO ^ w[z^—zk)
r' = Ma?4 + vy^ H- t«;z4 + r .
On tire aisément de ces équations
u'oL -{-r' = uxi H- vyi + wzi -h r,
v'P H- / = UX2 H- «2/8 H- î^Z2 + ^,
t^Y H- r' = Mars -h ut/3 H- i/;z3 -+- r,
r = Ma74 H- vyi 4- î^^Zi H- »•.
L'équation de la quadrique devient donc
A{uXi + uj/i + t«;zi + r)* -f- B(Ma?2 -4- ut/a H- «^jzs + ^)^
-H C(mj?3 + «^2/3 -f- ^Zz -h r)2 H- D(Ma:4 -h «2/4 -H «^^4 -+- r)^ = ; en conséquence, si Ton désigne par Pi, Pg, P3, P4 les premiers membres des équations des sommets du tétraèdre, on voit que Téquationtangentielle générale des quadriques conjuguées par rapport à ce tétraèdre est
AP? -h BPi -^ CPl -h DP« = 0.
152. Théorème de Hesse. — Si deux tétraèdres sont conjugués par rapport à une quadrique^ toute quadrique passant par sept des sommets de ces tétraèdres passe par le huitième.
Soient a?,-, y,-, zi (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) les coordonnées des huit sommets des tétraèdres.
L'équation tangentielle d*une quadrique conjaguée par rapport aa tétraèdre qui a pour sommets les quatre premiers points est
^ hi^Xi ■+• ^yi -+■ ^2i H- r)2 = ;
1=1 de même Téquation tangentielle [d'une quadrique conjuguée par rapport au tétraèdre formé par les quatre autres points est
^ X/(wa?t H- vyi 4- wzi + r)» = 0.
Écrivons que ces deux équations représentent la même quadrique ; on obtient une identité de la forme
S M'^^i + ^yi + '^^i + ^)^ ^ ^• t=l On en déduit
2{ji,ic? = 0, SfXfy? = 0, SfiiS? = 0, I^^iiyt^i = 0,
Considérons le premier membre de Téquation ponctuelle d'une quadrique quelconque <p(rt7, y, z) = Aa?2 -f- A'y* 4- A"^' ■+- 2By^ + 2B'3:a? -f- 2Wœy
-h 2Gr H- 2C'y + 2^4: -f- D = ; on aura, quelles que soient les valeurs des coefficients,
S ^^?(^»» 2/i» ^») = <>• t=i Cette égalité prouve que si la quadrique
passe par sept des huit points considérés, elle passera par le huitième.
En transformant par le principe de dualité, on obtient le théorème suivant :
Si deux tétraèdres sont conjugués par rapport à une quadrique^ toute quadrique tangente à sept des faces de ces tétraèdres est tangente à la huitième.
202 COORDONNÉES TAN GENTIELLES.— GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE
EXERCICES ET NOTES
1. Tétraèdres polaires réciproques. — On dit que deux tétraèdres sont polaires réciproques par rapport à une quadrique lorsque les sommets de Tun sont les pôles des faces de Tautre.
Théorème. — Les^ droites qui joignent les sommets correspondants de deux tétraèdres polaires réciproques sont des génératrices d'un même hyperboloïde.
Soient
a = ax-{'a'y-i-a''z + a'"t = 0,
P = ôa; -f- ft'y + ^"^ + ^"^ — 0,
Y =: ca; 4- c'y -h (f:; -i- c"'t = 0,
^ z= dx-h d'y -if d^z -4- d*"t = les équations des faces d'un tétraèdre ABCD; nous allons démontrer que si l'on joint chaque sommet au pôle de la face opposée par rapport à une quadrique
les quatre droites obtenues sont génératrices d'un hyperboloïde. Une droite passant par le sommet A a pour équations
écrivons que cette droite passe par le pôle if à, fâ», fâ», fl^,) de la
face 6GD; on aura les conditions
[ah) ~" [ac) ~ [ad) ' en posant
ôa da' oa" doT' db db' dh" db'"
(ac) désignant une expression analogue. . . etc.
On en conclut que les droites joignant les sommets aux pôles des faces opposées sont déterminées par les équations
[ab] [ac] [ad] '
g __ Y 8 [ba) ~" (6c) ""(ôd)'
(ca) (cb) (cd)
[da) ~ (db) ~ [de)'
On en conclut (chapitre 1, Exercice 4) que ces quatre droites sont sur un hyperboloïde.
Corrélativement y les droites intersections des faces correspondantes deux à deux de deux tétraèdres polaires réciproques sont quatre génératrices d'un hyperboloïde.
2. Étant donnés les plans polaires de deux points par rapport à une quadrique, si Von mène par chacun de ces points un plan parallèle au plan polaire de Vautre, le plan mené par l'intersection de ces deux plans et par l'intersection des dev>x premiers passe par le centre de la quadrique.
3. Etant donnés les plans polaires de deux points fixes par rapport à une quadrique, démontrer que le rapport des distances de ces points à un plan quelconque est dans un rapport constant avec le rapport des distances du pôle de ce plan aux deux plans pof aires.
4. On considère les quadriques conjuguées par rapport à un tétraèdre et qui sont tangentes à un plan fixe. Démontrer que les plans polaires d^un point fixe enveloppent une surface de troisième classe passant par les arêtes du tétraèdre.
Désignons par
OL =: au -h a'v -\- o!'vc + a!"r z=z 0,
p = frî^ +. b'v + b"w -+- b'^r = 0,
Y = cw -f- c'r H- c"w + c'"r =z 0,
8 = cZw -h d'v 4- d'w + d'^r =
les équations des sommets du tétraèdre. L'équation générale des
quadriques conjuguées par rapport à ce tétraèdre est
Aa2 + Bp2 + Cf H- D82 = 0, avec la condition
Aa?H-Bp? + CYS + D8? = 0, (1)
qui exprime que le plan (uo, vo, wq, ro) touche ces quadriques. Or Je pôle d'un plan (m', v', w\ r') a pour équation
Aaa' + Bpp' + Ctt' + ^SS' = ; pour écrire que ce pôle est fixe, il suffit d'observer que l'équation
d'un point peut toujours se mettre sous la forme (20)
to + m^ -h ny -f- p8 = ; on aura donc
Aa' ^ B^ ^ Cy' ^ DS; l m n p '
En éliminant A, fi, G, D entre (1) et (2), on aura Téquation tangentielle de l'enveloppe du plan (w', «', lo', r'),
Cette équation étant vérifiée par les coordonnées de tous les plans passant par une arête quelconque du tétraèdre, on en conclut que cette arête est sur la surface .
5. On considère toutes les quadriquss conjuguées par rapport à un tétraèdre et qui sont telles que le plan polaire d'un point donné A passe par un point également donné B. Démontrer que le plan polaire d'un point fixe passe par un autre point fixe.
Démonstration analogue à la précédente.
6. Étant donné un tétraèdre^ on considère tous les paraboloïdes conjugués par rapport à ce tétraèdre; on demande V enveloppe du plan polaire d'un point fi^e, lejieu des pôles d'un plan fixe, et le lieu des points de contact des plans tangents parallèles à un plan fixe.
Si Ton prend pour axes de coordonnées trois arêtes du tétraèdre, l'équation du paraboloïde pourra s'écrire
Au(uoL + 2r) + Br(i?p + 2r) + Cw{w^ + 2r) = 0.
7. Lorsque deux tétraèdres conjugués par rapport à une quadrique ont un sommet commun, les droites joignant le sommet commun aux six autres sommets appartiennent à un même cône du deuxième degré.
Prenons le sommet commun à l'origine, et désignons par a;,-, y,, z {i = 1, 2, 3, 4, 5, 6) les coordonnées des six autres sommets des deux tétraèdres ; posons en outre
Pi = uxi + vyi H- wsi H- r.
L'équation de la surface peut s'écrire indifféremment sous les deux formes
on en conclut une identité de la forme
Écrivons que les coefficients de u^, u^ w^, vu:, wuj uv sont nuls ; on aura
Sli^a?? = 0, liLty} = 0, SH43? = 0,
^\iiyiZi = 0, ^[t-iSi^ffi = 0, ZlHfCiyi = ;
ces égalités démontrent la propriété énoncée.
Corrélativement f si deux tétraèdres conjugués par rapport à une quadrique ont deux faces situées dans un même plan, les plans des six autres faces sont tangents à un cône de deuxième degré .
8. Connaissant les coordonnées plûckériennes d'une droite, trouver celles de la droite conjuguée par rapport à une quadrique. Soit une droite D définie par l'intersection de deux plans UiX + t?iy -h WiZ -h r^t = 0, U'ix -+■ viy -h w^z 4- r2« = ; ses coordonnées plûckériennes sont (22)
a = ViW2 — 101^2» l = ^i*"2 — nt*2» , etc.
La droite conjuguée de cette droite par rapport à une quadrique f(u, t?, w?, r) = joint les deux points (/*«;, fi^, f,l^, fr^) et [fi^, fi^, A^^» /"^ > ses coordonnées plûckériennes a', ^', y, T, m', n' sont proportionnelles aux quantités
On en déduit aisément les formules suivantes :
a' = aL[h"c" — h'c') 4- ^[h'c — ac") 4- ^([ac' — Vc) + l[ad - c*)
+ m[h"d — ce') + n(b'd — c''c),
^' = a(a'c" — bc') + P(6c — ftV'J + yib'c' — a'c) -h l[b"d — ce')
