leur H- "ic'vr -j- "^d'ior + dr
réquation tangentielle de la surface.
L'équation du pôle d'un plan quelconque (uo, î^o, w;o> ^*o) est
ou encore
Si le plan est à l'infini, wq, «o, ^o sont nuls, et l'équation devient
--' f'r = cw -i- c'v -4- c"io -h dr = 0.
Premier cas. — d^O,
Le pôle est à distance finie. La surface a un centre qui a
208 COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE
C c' c" pour coordonnées cartésiennes -t-j -j-» -=-? ou encore pour
coordonnées homogènes c, c\ (f, d.
Si réquation (1) représente une conique, le pôle du plan de rinfini coïncide avec le pôle par rapport à cette conique de la droite de Tinfini de son plan (141).; ce point est donc bien aussi le centre de la conique.
Enfin si Féquation représente deux points, le pôle du plan de l'infini est le milieu de ces deux points.
Deuxième cas. — d = 0,
Le pôle du plan de l'infini est à l'infini, ce qu'on pouvait prévoir, puisque la surface est tangente à ce plan ; il n'y a donc pas de centre.
Le point où la surface (ou la courbe) touche le plan de Tinfini a pour coordonnées c, c', c" et 0; la direction dans laquelle se trouve ce point est, comme nous le verrons plus loin, la direction de Taxe du paraboloïde (ou de la parabole) représenté par l'équation (1).
154. L'équation tangentielle générale des quadriques qui ont pour centre le point (a?, y, z) est
au^ -H a'v^ •+- (jtv)^ -h ^hvw -h V>'wu -h Wuv -\- %xur + 2i/vr
-l-2zt£;r + r2 = 0,
155. Application. — Le lieu des centres des quadriques tangentes à sept plans est un plan.
Soient w„ t?„ to,, ri[i == i, 2, 3, 4, 5, 6, 7) les coordonnées des sept plans.
L'équation d*une quadrique ayant pour centre le point (a;, t/, z) est écrite plus haut ; cette quadrique étant tangente aux sept plans^ on aura sept équations de la forme
au\ 4- a't?f H ^ocuin -\- 2yviri H- 2siOiri -i- rj = 0..
En éliminant rt, a', a", 6, b', V entre ces sept équations, on aura réquation du lieu.
Le premier membre de cette équation est un déterminant dont les éléments d'une ligne quelconque sont
u^y t??, w}, v{U)i, ictui, uroiy 2xuiri + 2yVtri-{'23Wiri-{'r\,
Les variables figurent seulement dans la dernière colonne et au premier degré; le lieu est donc un plan.
On peut encore obtenir ce résultat de la manière suivante. On cherche Téquation générale des quadriques tangentes à sept plans ; on écrit que Téquation
au^ -h aV H \'2c"wr -h c^f» =
est vérifiée par les coordonnées des plans donnés.
On a sept équations entre dix coefficients, on peut résoudre par rapport à sept inconnues en fonction des trois autres que nous désignerons par Xi, X2, X3. Ces sept ' inconnues sont des fonctions linéaires et homogènes de Xi, X2, X3, de la forme aXi -f- 6X2 -f- cXg.
11 en résulte que Téquation générale des surfaces tangentes aux sept plans est
Xi/*i(u, V, M?, r) -h l^Mu, t?, w, r) 4- hfs{uj r, te, r) = 0,
en posant
fi{u, 1?, w, r) ^ aiu^ -h ajt?2 -j 2c\wr -+• dir^,
fs{u, V, w, r) = a^u^-\ hdsr^.
Le centre de la quadrique a pour coordonnées
ciXi H- C2X2 -f- 03X3
6'iXi H- C2X2 -h C3X3
diki H- 6^2X2 -h cfsXg '
(*i\ -f- C2X2 -I- cllo
diki + ^2X2 H- ^3X3 Quand Xi, X2 et X3 varient, il est visible que ce point décrit le
plan qui est déterminé' par les trois points (-^» -^ » "T")'
(-£L, fL, A-\ et (-^, A fL\.
\ c?2 ' d2 ^ d2 / \ ds ^ ds ^ dz I
156. Le lieu des centres des quadriques tangentes à huit plans est une droite.
L'équation générale des quadriques tangentes à huit plans est Xi/i(w, t?, Wy r) + X2/2(t^, v, M?, r) = 0.
Le centre a pour coordonnées
XiCi -f- X2C2 __ Xic'j H- X2C2 XiC| 4-X2C2 .
Xidi 4- X2C?2 * • kidi -h X2CÏ2 ' " Xidi + \<id2 *
on voit ainsi que ce point décrit une droite.
210 COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE
D'ailleurs ce résultat est une conséquence directe du théorème qui précède.
157. Ces théorèmes sont des cas particuliers du théorème plus général suivant :
Le lieu du pôle cTun plan fixe par rapport aux quadriqtf^s tangentes à sept plans (ou tangentes à huit plans) est un plan {ou une droite).
158. Plans diamétraux. — Le lieu des milieux des cordes d'une quadrique parallèles à une direction de droite est un plan qu*on appelle le plan diamétral oonjugué de la direction donnée.
Ce lieu est en effet le plan polaire du point à Tinfini dans la direction donnée.
Soient a, p, y les paramètres directeurs de la direction donnée ; le point à l'infini dans cette direction a pour coordonnées homogènes ot, p, y, ; les coordonnées w, v, w, r de son plan polaire seront déterminées par les équations
fu fv fto
ir = ï = 7'
On a trois équations du premier degré que Ton peut résoudre comme au numéro 143 ; on a en général un seul plan diamétral correspondant à une direction.
159. Les plans diamétraux étant des plans polaires de points situés dans le plan de Tinfini doivent passer par le pôle de ce plan ; c'est ce que montre d'ailleurs Téquation /ï = 0.
Il en résulte que dans les surfaces à centre les plans diamétraux passent par le centre, tandis que dans les paraboloïdes, ils sont parallèles à la direction de Taxe.
160. Le plan polaire d'un point à Tinfini n'est un véritable plan diamétral que si ce point n'est pas situé sur la surface.
Dans le cas contraire, si ce point est sur la surface, le plan
polaire correspondant est le plan tangent à la surface en ce point. Si la surface est une surface à centre, ce plan est tangent au cône asymptote ; si la surface est un paraboloïde, ce plan passe par Tune des droites, intersection de la surface et du plan de l'infini, k moins que la direction donnée ne soit précisément la direction de Taxe (ce qui revient à dire que le point à l'infini est le point de rencontre des deux droites dont nous venons de parler) ; dans ce cas le plan polaire coïncide avec le plan de Tinfini.
161. Examinons le cas où l'équation (1) représente une conique ; il suffira de se reporter à la théorie des pôles et plans polaires (144).
Si la direction donnée n'est pas parallèle au plan de la conique, le point à l'infini correspondant n'est pas dans le plan de cette conique, le plan polaire de ce point est le plan de la conique.
Si la direction donnée est parallèle au plan de la conique, le point à l'infini correspondant est dans le plan de la conique, le plan polaire est un plan quelconque passant par la polaire de ce point par rapport à la conique ; on peut donc dire que dans ce cas le plan diamétral conjugué de la direction donnée est un plan quelconque passant par le diamètre conjugué de la direction dans la conique.
Si le point à l'infini est sur la conique, son plan polaire passera par une asymptote si la conique est une hyperbole, ou sera parallèle au plan de cette conique si c'est une parabole.
162. Plans diamétraux conjugués. — On dit que deux plans diamétraux sont conjugués lorsque chacun d'eux divise en deux parties égales les cordes parallèles à l'autre.
Chacun de ces plans passe par le pôle de l'autre ; on peut les considérer comme deux plans conjugués par rapport à la quadrique.
Soient les deux directions (a, p, y) et (a', p.', y'); nous allons chercher la condition pour que les plans diamétraux conju-
212 COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE
gués de ces directions soient conjugués par rapport à la quadrique.
J'écris pour cela que le plan diamétral conjugué de la direction (a, p, y) est parallèle à la direction (a', p', /) ; il suflQt d'éliminer M, V, w, r entre les équations
f'r = 0, Ma' H- v^' -{-W^ = 0.
On obtient la condition
On peut remarquer que cela revient à écrire que les deux points à rinfini {a, p, y, 0) et (a'^ p', /, 0) sont conjugués par rapport à la quadrique.
163. Diamètres. — Le lieu des centres des sections d'une quadrique par des plans parallèles à un plan donné est une droite qu'on appelle le diamètre conjugué de la direction de plan.
En effet, les centres des sections sont les pôles par rapport à ces sections de la droite de l'infini par où passent les plans parallèles; il en résulte (147) que le lieu de ces centres est la droite conjuguée de cette droite de l'infini.
Le diamètre conjugué d'une direction de plan est donc la droite conjuguée de la droite de l'infini par laquelle passe la direction de plan donnée.
Nous pouvons à l'aide de cette remarque déterminer analytiquement le diamètre.
Soit la direction de plan
u^x-hv^y + w^z = 0.
Nous allons chercher la droite conjuguée de la droite de l'infini située dans ce plan.
Un plan quelconque passant par cette droite a pour coordonnées Wo, vo, ^0, ^ ; l'équation de son pôle est alors
uof'u + vof'v + wof'vo + X/*; = ;
ce pôle est situé, quel que soit X, * sur la droite représentée par les deux équations
Uof'u H" Vofv -+- Wof'w = 0,
. fr = 0;
ce sont les équations du diamètre cherché.
On voit que ce diamètre passe par le centre si la surface est un ellipsoïde ou un hyperboloïde, ou bien est parallèle à la direction de Taxe, si la surface est un paraboloïde.
164. Pour que la droite conjuguée d'une droite située à Tinfini soit un diamètre, il est nécessaire que la droite de l'infini ne soit pas tangente à la surface ou ne soit pas située sur la surface .
Si la surface est à centre, elle rencontre le plan de l'infini suivant une véritable conique ; si une droite est tangente à cette conique, la droite conjuguée sera dans le plan tangent à la surface en ce point et sera la conjuguée harmonique de la droite donnée par rapport aux génératrices situées dans le plan tangent ; on en conclut que la droite conjuguée est génératrice du cône asymptote.
Si la surface est un paraboloïde, elle rencontre le plan de l'infini suivant deux droites A et A' qui se coupent eii un point 0. Toute droite du plan de Tinfini passant par le point aura pour droite conjuguée la conjuguée harmonique de cette droite par rapport à a et A' ; la droite A sera à ellemême sa droite conjuguée, ainsi que la droite A'.
214 œORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE
165. On peut montrer directement que le lieu des centres des sections planes parallèles à un plan fixe est une droite.
En effet, Téquation de la conique intersection de la surface par un plan (uoj vof too, ro) est
/b désignant /*(t/o, tro, loo, n) .
Les coordonnées du centre de cette conique sont
Si ro varie, ce point décria une droite, car les termes de ces trois fractions sont du premier degré par rapport à ro.
166. Si Téquation (i) représente une conique, deux cas peuvent se présenter : ou bien la droite donnée à Tinfini n'est pas dans le plan de la conique, dans ce cas la droite conjuguée est le diamètre conjugué par rapport à la conique de la trace de la direction de plan sur le plan de la conique ; ou bien la droite à Tinfini est dans le plan de la conique, la droite conjuguée est une droite quelconque passant par le pôle de la droite de Tinfini par rapport à la conique.
167. La théorie des pôles et polaires nous donne immédiatement les théorèmes bien connus qui suivent.
Les plans diamétraux conjugués de toutes les directions de droites d'un plan passent par le diamètre conjugué du plan.
Les diamètres conjugués de toutes les directions de plans parallèles à une droite sont situés dans le plan diamétral conjugué de la droite .
Le diamètre conjugué de la direction d'un plan diamétral est parallèle aux cordes que divise le plan en deux parties égales.
168. Système de trois diamètres conjugués. — L'intersection de deux plans diamétraux est le diamètre conjugué de la direction de plan parallèle aux cordes conjuguées des plans diamétraux.
Considérons alors deux plans diamétraux conjugués (162) ;
leur intersection est parallèle à Taxe dans le cas où la surface est un paraboloïde ; mais, si la surface a un centre, cette intersection passe par le centre ; le plan diamétral conjugué de cette direction est conjugué des deux premiers, Tensemble de ces plans constitue un système de trois plans diamétraux conjugués deux à deux, et les arêtes de ce trièdre forment trois diamètres conjugués.
Chacun de ces diamètres est le diamètre conjugué du plan formé par les deux autres.
Trois plans diamétraux conjugués forment avec le plan de Tinfini un tétraèdre conjugué par rapport à la quadrique.
