Forme^ réduites des équations des quadriques. — 1* Si
la quadrique a un centre, nous prendrons comme axes trois diamètres conjugués ; les plans de coordonnées forment avec le plan de Tinfini un tétraèdre conjugué, dont les équations des sommets sont
réquation de la quadrique est donc de la forme
Am2 + Bu2 -h.Cw^ -h DH = 0.
2® Si la quadrique est un paraboloïde, nous prendrons comme plans des zx et des xy deux plans diamétraux conjugués ; leur intersection sera alors parallèle à Taxe ; nous prendrons pour origine le point -oix cette droite rencontre la surface et pour plan des yz le plan tangent à la surface en ce point.
Soit réquation
f{u, V, m;, r) = au^ -+- a'v^ H h 2c"wr = 0. (1)
J'écris que le pôle du plan des zx est à Tinfini dans le plan des xy ; réquation de ce pôle est
— fi == b"u-{-a'v-^bw + c'r =0;
on a
ô = 0, cf = 0.
En écrivant de même que le pôle du plan des xy est à Tinfini
216 COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE
dans le plan des zx^ on obtient
J'écris ensuite* que le plan des yz est tangent et que son point de contact est à Torigine ; on a
L'équation de la surface devient alors
a'v^ -f- a"w^ + ^cur = 0.
Nous avons obtenu (54) les équations ponctuelles correspondantes. Elles sont très aisées à retenir; il suffit de changer les variables w, v, w^ r en a?, t/, z, t et de remplacer chaque coefficient par son inverse, sauf pour le coefficient de ur que Ton remplace par quatre fois son inverse. On a ainsi les équations
170. Plans principaux et axes.- On appelle plan principal d'une quadrique un plan diamétral perpendiculaire à ses cordes conjuguées ; ces cordes sont également appelées cordes principales .
On appelle axe d'une quadrique un diamètre perpendiculaire à sa direction de plan conjuguée.
Il est aisé de voir qu'un axe est l'intersection de deux plans principaux ; en effet, soit P un plan quelconque perpendiculaire à l'axe, les plans diamétraux conjugués des directions du plan P passent par l'axe ; parmi ces plans il en est deux perpendiculaires à leurs directions conjuguées, ce sont ceux qui passent par les axes de la conique, intersection de la surface et du plan P.
Réciproquement, l'intersection de deux plans principaux est un axe, car c'est le diamètre conjugué de la direction du plan perpendiculaire à l'intersection des deux plans principaux.
La détermination des axes revient donc à celle des plans principaux.
On peut considérer un plan principal comme un plan dont le pôle est à l'infini dans la direction perpendiculaire.
Soient u, v, w^ r les coordonnées d'un plan ; son pôle a pour coordonnées fui /*i, fw^ f'r ; pour que ce pôle soit à Tinfini dans la direction perpendiculaire au plan, on doit avoir
les axes de coordonnées étant supposés rectangulaires.
171. Pour résoudre et discuter ces équations, on peut introduire une nouvelle inconnue S et écrire
ou
A = 2Sti,
fc = 2Sz^
ce qui donne, en développant,
(a — S)w -H b"v -f- b'w -1- cr = 0,
¥u H- (a' — S)v -H to 4- (/r = 0,
b'u -^bv-h {a" — S)w -h c"r
eu -\- c'v + d'il) -f- dr = 0. y
Ces équations sont homogènes par rapport à w, v, w,r\ pour qu'elles aient des solutions non toutes nulles, il faut que le déterminant du système soit nul. On doit donc avoir
le premier membre peut se décomposer en la somme sui-
218 COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE
vante :
bf
c </ rf
les valeurs respectives de ces déterminants sont
A — AS — A'S — A"S + S*{a'd — €">) + S*{a'd — d^)
-+-S«(arf — c') — dS'. L'équation peut donc s'écrire
dS'— S»[arf— c»+a'd— c'»+a''rf-c'"]-HS(A+A'-l-A'') — A=0.
Soit Si une racine de cette équation ; si on remplace S par Si dans les équations (2), elles admettront un système de solutions qui seront les coordonnées d'un plan principal.
