Étude algébrique de réquation en S

Théorème. — L'équation en S a toujours ses racines réelles.

Nous écartons le cas où l'on aurait à la fois c=d=c"=d=0; car dans ce cas l'équation en S est identiquement satisfaite ; l'équation de la surface représente une conique à l'infini ; il n'y a pas lieu de chercher ses plans principaux.

Le premier membre de l'équation en S est le discriminant

de la fonction

/■(m, V, w, r) — S(m' 4- 1)- + tv^) ;

si on y remplace S par une racine de Téquation en S, cette expression est décomposable en une somme de trois carrés au plus.

Si réquation avait une racine imaginaire, on aurait une identité de la forme

= (P -1- Ï?'Y 4- (Q -^ iQ? -h (R 4- ^R')^

P, F, , R' désignant des fonctions linéaires et homogènes

de M, v^w^rk coefficients réels, dont l'une au moins renferme la variable r.

On en déduit

— p(u» 4- u' -f- w^) = 2PF -f- 2QQ' 4- 2RR'.

Supposons que Tune des expressions P, Q, R contienne r et cherchons à résoudre le système

On a trois équations linéaires et homogènes à quatre inconnues ; on pourra trouver des solutions non toutes nulles ; mais on ne peiit avoir u = v = w = 0^ ^^z^O, puisque Tune des équations renferme r ; donc Tune des inconnues M, V, w doit être différente de zéro.

Pour ces solutions le second membre de la dernière identité est nul, il doit en être de même du premier ; mais ce premier membre ne peut être nul que pour u =zv = w = ] l'identité est donc impossible, et Téquation en S ne peut avoir de racines imaginaires.

173. Racines nulles. — Nous rappellerons d'abord qu'étant donnée une forme quadratique à trois variables, si le discriminant est nul, ainsi que la somme des mineurs principaux, tous les mineurs sont nuls et la forme est carré parfait.

De plus, si tous les mineurs sont nuls et si la somme des

220 COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACB

coefficients des carrés des variables est aussi nulle, tous les

coefficients de la forme sont nuls (*) .

Cela posé, nous allons établir les théorèmes suivants.

i° Pour que l'équation en S ait une racine nulle^ il faut et il suffit que le discriminant A de la forme f[u, u, Wy r) soit nul, c'est-à-dire que cette forme soit réductible à une somme de trois carrés.

2° Pour que V équation en S ait deux racines nulles, il faut et il suffit que tous les mineurs du premier ordre de A soient nuls, c'est-à-dire que f{u, u, w, r) soit réductible à une somme de deux carrés.

3« Pour que Véquation en S ait trois racines nulles, il faut et il suffit que tous les mineurs du deuxième ordre de A soient nuls^ c'est-à-dire que f[u^ u, w, r) soit carré parfait.

Pour que Téquation en S ait une racine nulle, on doit avoir

pour qu'elle ait deux racines nulles,

A=:0, A-hA'-4-A'' = 0;

(*) Voici la démonstration de ces théorèmes.

Soit la forme

ax* -h a V -f- o"z* -h 2byz -h 2b' zx -h 2b''xy ; désignons par A le discriminant et par A, A', etc., B" les mineurs ; les mineurs principaux sont A, A' et A".

On a les formules

A' A" — B* = aA, A''A — B» = a'A, AA' — B*^ = a''A.

Supposons qu'on ait

on aura

2[A'A" - B* -h A'A - B'« -h AA' - B"»] — (A -h A' -h A")» = ou

A* -f. A'* -h A"* -h 2B« -h 2B'« -f 26"» = 0, ce qui donne

En second lieu, si tous les mineurs sont nuls, et si a -h a' -h a" = 0, on aura

^ia'a" — 6» -h a"a — b'' -f- aa' — b'*) — (a -h a' -h a')* = .

a» -+- a'» -h a"* -f- 26* -h 26'» -h 26"» = 0, ce qui donne

et enfin pour qu'elle ait trois racines nulles,

A = 0, A-l-A'-i-A' = 0, arf — c^ + o'rf — C^-ho'rf— c'* = 0.

Le premier théorème est donc démontré.

Pour établir les deux autres, supposons d* abord rf^O, et décomposons en carrés la fonction /*(ti, t?, u\ r) en commençant par le terme dr*.

On aura

d/*(w, V, m;, r) ^ {dr -\- eu -\- cfv -+- c'wy-h ^u, v, w), en posant

-h 2(M — dc^'^vw -h 2(6'd — c'c)tcu H- 2(6"^ — cc!)uv.

En égalant cette fonction à zéro, on a Téquation de la section de la surface par le plan de Tinfini.

Nous avons montré au numéro 133 que le discriminant de cette forme est cPa, et que ses mineurs principaux sont dA, dk\ dk\

Si l'équation en S a deux racines nulles, on a

A = 0, A-hA'-hA' = 0;

le discriminant et la somme des mineurs principaux pour la fonction ^[u^ v, w) sont nuls ; il en résulte, d'api-ès le théorème rappelé au début, que cette forme est carré parfait.

Par suite f{u, r, il\ r) est égal à une somme de deux carrés, tous les mineurs du premier ordre de A sont nuls.

La réciproque est immédiate : si tous les mineurs de A sont nuls, l'équation en S a deux racines nulles.

Si cette équation a trois racines nulles, on a

A = 0, A-f-A' + A'=0, ad—c^'-ha'd—&^-^a''d — (f^ = 0\

on en conclut que ^{ti, r, w) est identiquement nul, f{u^v,w^r) est carré parfait, tous les mineurs du deuxième ordre de A sont nuls; la réciproque est évidente.

Nos trois théorèmes sont donc démontrés dans le cas où

222 COORDONNÉES TANGENTIELLBS. — GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE

Je suppose maintenant d = 0, le coefficient de S' est

Uul, Téquation ne peut avoir trois racines nulles, il n'y a lieu

de démontrer que le deuxième théorème.

On a

/*(w, V, w^ r)= 2r(cM -h c'v + c''w)-+- g{u, v, w),

en posant

g(u^ V, w) = au^ -+- a'v^ -h ••• -h 26'mu.

Divisons g{u, v, w) par eu -+- c'v -+- (fw, en supposant

c ^f: ; on a un quotient au -i- pi? -t- -^w et un reste qui

^ !.*• * 1 X j , N c'v -^ d'y) s obtient en remplaçant, dans g[u^ v, w;), u par •

On aura donc

f[u, Vy w, r)=(2r -h au -t- ^v + Y^^)(cu + c'v -i- c^it;)

( dv-^- dw \

Le discriminant du dernier terme est nul en même temps que A. On verra aisément que la somme des coefficients de u^ et de w^ est égale à A + A' -h A" ; il en résulte que si

Ton a

A = 0, A-+-A'-hA" = 0,

cette fonction est identiquement nulle, /*(m, v, w, r) se réduit à un produit de deux facteurs, tous les mineurs du premier ordre de A sont nuls.

174. Racines multiples. — Pour que Téquation en S ait une racine double, il faut et il suffit que les équations

aient une racine commune.

On a

Oa'-S h c' b" — i b c'

b a"— Sc""^ b' Oa"-Sc"

Nous désignerons par A^, As, Aï, B,, . .

a-S b" .0 c b" a'— S c' b' b —le"* c c' d Ds les coefficients

de a — S, a' — S, . . . , d dans le développement du déterminant F(S) ; on aura

Or nous venons de voir qu'étant donnée la forme /*(m, u, w^ r), si Ton a

tous les mineurs du premier ordre de A sont nuls. En appliquant ce résultat à la forme

dont F(S) est le discriminant, on voit que pour que les deux équations

aient une solution commune, il faut et il suffit que tous les mineurs du premier ordre de F(S) soient nuls pour une même valeur de S, qui sera alors la racine double.

De même, pour que l'équation en S ait une racine triple, il faut que les trois équations

aient une solution commune .

Or on voit aisément que

F'(S; = — 2[(a — S) c? — c2 -h (a' — S)rf' — c'^ -h [a!' — S)d" — d"'] .

Il en résulte que pour que Téquation ait une racine triple il faut et il suffît que tous les mineurs du deuxième ordre de F(S) soient nuls.

En définitive, F(S) est le discriminant de la forme f{u, V, w, r) — S(w2 -4- ^2 + iv^).

Une racine simple de l'équation en S n'annule pas tous les mineurs de F(S), et pour cette racine la forme est décomposable en une somme de trois carrés.

Une racine double annule tous les mineurs du premier ordre^ et, pour cette racine, la forme qui précède est décomposable en une somme de deux carrés.

Enfin une racine triple annule tous les mineurs du second

224 COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE

ordre de F(S) et pour cette racine

f{u, V, w, r) — S(w2 -h v2 + m;2) est carré parfait.

175. De cette discussion de Téquation en S nous allons déduire les propriétés des plans principaux des quadriques.

Théorème I. — A une racine simple non nulle de Véquation en S correspond un plan principal déterminé.

En effet, si Ton revient aux équations

(a — S)w -h b"v+b'w -4- cr = 0,

b"u -+- (a' — S)v -hbw-}- c'r = 0,

h'u-^bv -h {a" — S)m;-{- cV = 0, ^

eu H- c'v -4- c"w -H rfr = 0,

et si Ton remplace S par une racine simple de l'équation en S, on a quatre équations homogènes à quatre inconnues dont le déterminant est nul et dont tous les mineurs du premier ordre ne sont pas nuls.

Il en résulte qu'on peut choisir arbitrairement une seule inconnue, de telle sorte que les équations précédentes admettront un seul système de valeurs pour w, u, w^ r, à un facteur près.

Théorème II . — A une racine double non nulle de Véquation en S correspondent une infinité de plans principaux passant tous par une même droite.

Pour une racine double tous les mineurs du premier ordre de F(S) sont nuls ; on peut donc choisir arbitrairement deux inconnues, par exemple w et r, et on aura, en résolvant par

rapport à w et t?,

u = oiw -\- ^r^

V = a!w -h pV ;

on en déduit pour équation du plan correspondant

{^w H- ^r)x + (a'w; + pV)y + tyz 4- r = ou

Puisque w et r sont arbitraires, on a une infinité de plans principaux passant par une droite.

On sait que dans ce cas la surface est de révolution.

Théorème III. — A une racine triple non nulle de Véquation en S correspondent une infinité de plans principaux passant tous par un même point.

Pour une racine triple tous les mineurs du deuxième ordre de F(S) sont nuls, les équations (2) ont leurs coefficients proportionnels, le système se réduit à une seule équation ; ce qui montre que les plans principaux sont assujettis à passer par un point.

Dans ce cas /*(m, v, w, r) — ^[u^-\-v'^ h- w'^) est carré parfait, la surface est une sphère (131).

176. Théorème. — Les plans principaux correspondant à deux racines différentes de Véquation en S sont jjerpendiculaires.

Soient, eneff'et, Wi, Ui, z^i, n et M2, v^, w^^ r^ les coordonnées des plans principaux correspondant à deux racines Si et

Sa. On a

f[,^ =^ 2Siit'„ f/,^ = 2S2m;2,

Multiplions les quatre équations de gauche respectivement par W2, Vi, Wf^ r2, puis ajoutons ; multiplions de même les quatre équations de droite respectivement par wi, Ui, w^^ ?'i, puis ajoutons ; on a

Uif'u^ -+- Vf, -+- «^zAï + ^2/*r, = 2S,(W,M2 -h ViU, "h W^W^), Uifu^ -H Ui/*'r2 "*" ^^i A + '^^fK = 2S2(t/iM2 "h ^1^2 -+- ^i^^) .

Retranchons, il vient

= 2(Si — S2)(wiW2 H- v^v^ -i- w^w^)^ et comme Si — Sj n'est pas nul, on doit avoir* WiMî H- «1^2 -H iviW2 = 0,

226 COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS l'ESPACE

ce qui montre que les deux plans principaux sont perpendiculaires.

On a aussi

ces deux plans sont donc conjugués ; ce sont deux plans diamétraux conjugués rectangulaires.

Si Tune des racines, Si par exemple, est racine double, le théorème prouve que le plan principal relatif à S2 est perpendiculaire à tous les plans'principaux relatifs à Si.

177. Si réquation en S a une racine nulle, on ne peut dire qu'à cette racine correspond un plan principal ; car en introduisant cette variable S au numéro 171, nous avons sousentendu que cette quantité ne pouvait être nulle.

Pour abréger le langage, nous appellerons plans principaux singuliers les plans qui correspondent aux racines nulles de réquation en S, c'est-à-dire les plans dont les coordonnées vérifient les équations

/"L — 2Sw = 0,

A -2Sî; = '0,

/*;, — 2Sm; = 0,

où Ton fait S = 0, c'est-à-dire les équations

178. Il nous est facile maintenant d'indiquer le nombre de plans principaux de chaque surface.

Premier CAS. d:^0.

I. A yjf: 0. La surface est un ellipsoïde ou un hyperboloïde.

L'équation en S a trois racines non nulles, la surface a donc trois plans principaux formant trièdre trirectangle ; les arêtes de ce trièdre constituent trois axes, qui sont en même temps trois diamètres conjugués rectangulaires.

Si l'équation en S a une racine double, la surface est de révolution.

Si réquation en S a une racine triple, la surface est une sphère.

IL A = 0, A -f- A' -H A'' i^ 0. U équation (i) représente une ellipse ou une hyperbole.

L'équation en S a deux racines non nulles, à chacune desquelles correspond un plan principal.

A la racine nulle correspond le plan de la conique, qui est perpendiculaire aux deux plans principaux, car le théorème du n® 176 a lieu quand hien même Tune des racines Si ou S^ est nulle.

Il est clair que les deux plans principaux contiennent les axes delà conique.

Si les deux racines non nulles sont égales, la conique est un cercle.

III. A = 0, A-f-A'-i-A* = 0, ad-'e-+a'd—c"''\-a!'d'-c"^ :^ 0. U équation (i) représente deux points à distance finie.

L'équation en S a une racine non nulle à laquelle correspond un plan principal, c'est le plan passant par le milieu des deux points et perpendiculaire à la droite qui les joint.

Elle admet deux racines nulles auxquelles correspondent èous les plans passant par les deux points.

IV. A = 0, A-hA'-hA'' = 0, a(Z-c«-+-a'd— c'2-ha"d— c''2=0^ L'équation (1) représente un point double.

L'équation en S a trois racines nulles, auxquelles correspondant tous les plans passant par le point double.

Deuxième cas. d = 0.

On suppose aussi que les trois nombres c, c', c" ne sont pas nuls en même temps.