Pour qu'un plan (w, v, tv, r) soit plan principal d'une
quadrique
f{u, V, IV, r) = 0, il faut qu'on ait
u • V IV \ (3^
On aura l'équation de l'ensemble des plans principaux en éliminant w, v^ iv, r entre ces équations et la suivante :
ux-{-vy -{- wz 4- r = 0.
Si l'on veut avoir l'enveloppe des plans principaux d'une quadrique variable, on éliminera les paramètres entre les équations (3) ; on aura une relation entre w, u, w^ r, qui sera l'équation tangentielle de l'enveloppe cherchée.
180 . Conditioas pour qu'une droite soit axe d'une quadrique.
— Soit la droite ayant pour équations
X — x' y — y' z — z' pour que cette droite soit axe d'une quadrique définie par
l'équation
il faut et il suffit qu'elle coïncide avec le diamètre conjugué de la direction de plan qui lui est perpendiculaire. Un plan perpendiculaire à la droite a pour équation
ao? 4- py + Yz = ;
le diamètre conjugué de cette direction de plan est déterminé par les deux équations
ou
u{aoL -f- 6"p 4- 6'y) + ^{à"^ -+- «'P + ^y) h- «^(*'* 4- ^>P -H a"y) .
eu -H dvi 4- d'w H- rfr = 0.
Ces deux équations représentent deux points qui sont sur le diamètre ; en écrivant que ces deux points sont sur la droite donnée, on aura les conditions cherchées.
On a ainsi
c — dx' d — dij' d'—dz'
a^^h"^-^h'^(-^oc!{coL-\-d^-\-d'-ç) b"7.^o!^-\-b^(-y\c^-^d^->rd'-()
En éliminant a, p, y entre ces équations, on aura les équations ponctuelles de l'ensemble des axes, a?', y'^ z' étant les coordonnées courantes. L'élimination est fort simple, il suffit de remplacer dans les deux dernières équations a, p, ^ respectivement par c — dx'^ d — d\j\ d' — dz'.
181. Dans le cas où la surface est un paraboloïde, on peut avoir aisément Taxe de la surface.
Il suffit de prendre le diamètre conjugué de la direction de plan perpendiculaire à la direction de Taxe, laquelle a comme paramètres directeurs c, c/, c".
230 COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE
L'axe sera donc défini par les deux équations cf'u-^c'f',^c"f[o =0,
Si Téquation représente une parabole, ces équations définissent également Taxe de cette courbe.
182. Plans tangents aux sommets. — On déterminera les plans tangents aux sommets en écrivant qu'ils sont tangents à la surface et parallèles aux plans principaux.
Si la surface est un paraboloïde, le plan tangent au sommet est perpendiculaire à Taxe ; son équation est de la forme
ex -h c'y -h c"s 4- >^ = ;
on détermine X en écrivant que ce plan est tangent, ce qui
donne la condition
f[c, c\ c\ X) = 0, d'où l'on tire
___ flc2 H- a'c'^ -f- a!'c"^ + ^hdc" -\- 'Jb'd'c + Wcd
Le sommet s'obtiendra aisément en prenant l'intersection de ce plan et de l'axe.
183. Surfaces de révolution de deuxième classe. — Nous avons vu plus haut que la condition nécessaire et suffisante pour qu'une surface de deuxième classe soit de révolution est que l'équation en S ait une racine double non nulle. Nous nous proposons d'obtenir ce résultat directement en cherchant l'équation générale des quadriques de révolution.
Une quadrique de révolution est engendrée par la rotation d'une conique autour d'un de ses axes ; or, le produit des distances des foyers de la conique situés sur cet axe à une tangente quelconque étant constant, on en conclut que le produit des distances de ces foyers à un plan tangent quelconque de la quadrique engendrée est constant.
L'équation générale des quadriques de révolution sera donc
P, Q désignant des fonctions linéaires qui, égalées à zéro, sont les équations des foyers P et Q situés sur l'axe de révolution.
Si ces deux points sont réels, la quadrique est un ellipsoïde allongé ou un hyperboloïde à deux nappes ; si les deux points sont imaginaires conjugués, la surface est un ellipsoïde aplati ou un hyperboloïde à une nappe.
Enfin si l'un des points P ou Q esta Tinfini, la surface est unparaboloïde de révolution.
On peut d'ailleurs obtenir aisément Téquation du paraboloïde de révolution ayant pour foyer un point (a, p, y) et pour plan tangent au sommet le plan
Ho = u^x -h VqIJ -4- îVç^z + r^ = 0.
Un plan H(w, v, iv^ r) sera tangent au paraboloïde, si ce plan est perpendiculaire au plan passant par le foyer et l'intersection des plans H et E^.
Ce plan a pour équation
ux -i- vy -+• wz -\- r UqX -+- Vq]/ h- WqZ -H ^o ^w lia -\-v^-hW-(^r UoOL-h Vo^ -f- Wq^ -h î^o "~ Pour qu'il soit perpendiculaire au plan H, on doit avoir
\ux -\- v^ -}- wy -\- r Uo% H- Uo? -h Wo^ 4- Vq/
ou
1^2 | ^2 | ^,2 WUo -h VVo -h WWq
uoL -H v,3 -H 2v-( -h r Uq% + i7oP -h m;oY + ? o
ou
{uuq -t- vvq -\- tvwo){uoL -4- r^ H- r^Y H- r)
cette équation est bien de la forme
u^-\-v^-^w^^ XPQ = 0, l'un des points P et Q étant à l'infini, l'autre étant le foyer.
232 COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE
Dès lors pour qu'une quadrique
soit de révolution, il faut qu'il existe un nombre S différent de zéro tel que Ton ait
f{u, V, w, r) = S[w^ -h v« H- m;2 ^ XPQ] ou
/•(w, V, w, r) — S(w2 -f- 1^2 -H w^) = XSPQ.
Or pour que la forme du premier memlH'e soit décomposable en un produit de deux facteurs, c'est-à-dire réductible à une somme de deux carrés, il faut que S soit racine double de l'équation en S.
L'axe de la surface sera la droite joignant les deux points P et Q.
EXERCICES ET NOTES
1. V enveloppe d'un plan dont la somme des carrés des distances à n points fixes est constante est un ellipsoïde dont le centre est le centre des moyennes distances des n points.
Soit, en effet, le plan variable
ux '\- vy -\- wz -h r = ; on aura une équation de la forme
[llXi
vyi H- wzi -j-
rjf
-t- t?^ H- io2
et Ton voit que les coordonnées du centre sont
2a7i Sy.- S-gf n ' w ' n '
2. Étant donnés trois points et leurs plans polaires par rapport à une quadrique variable^ le lieu du centre de cette surface est une droite.
3. On donne deux plans fixes P et Q, un point fixe dans le plan P et un point A dans l'espace ; trouver le lieu des centres des qua-
driques tangentes au plan Q, passant par A et tangentes au plan P en 0, de telle sorte qtte ce point soit un ombilic.
On prendra le plan P pour plan des xy, le point pour origine ; pour écrire que ce point est un ombilic, il suffît d^écrire que le plan P coupe la surface suivant deux droites isotropes, c'est-àdire que l'ensemble des termes du deuxième degré en u et v se réduit à u^-i-v^.
4. On considère toutes les quadriques tangentes à deux plans en des points donnés. On propose de trouver :
i^ Le lieu géométrique des centres de ces surfaces ;
2® Le lieu géométrique des points de contact de ces surfaces avec les plans tangents qu'ion peut leur mener parallèlement à un plan donné ;
3° Le lieu géométrique des points de contact de ces surfaces avec les plans tangents qu'on peut leur mener par une droite donnée,
{Concours général, 1873.)
5. Étant donnés cinq points^ les cinq quadriquss qui ont pour centre Vun de ces points et qui sent conjuguées par rapport au tétraèdre formé par les quatre autres points sont homothétiques.
Il suffit d'établir que ces quadriques rencontrent le plan de Tinfini suivant la même conique.
Soient Xi^ t/j, Zi (t = 1, 2, 3, 4, 5) les coordonnées des cinq points; une quadrique conjuguée par rapport au tétraèdre des quatre premiers points a pour équation tangentielle
^X,(uajf-4- tJt/i + wzi -f- r)2 = 0.
Pour que son centre soit le cinquième point, on doit avoir
234 COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE
Posons
les conditions deviennent
2 hxi = 0, ^ hyi = 0, ^liZi = 0, ^ X, = 0.
11 est aisé d'établir maintenant que Téquation tangentielle de la conique de Tinfini est symétrique par rapport aux indices 1, 2, 3, 4,3.
En effet, le coefficient de u^ dans cette équation est
2>.«^f2)''- ii^'^*
ou
ou
on aura des expressions analogues pour les autres coefficients, et Ton voi t que Téquation de la conique de Tinfini est
ri o B li
u'^Mx'i + v^'^hy'i + w^ ^M=) + Hvio^liyiJ
-h 2wii^jMZiXi -j- 2kv \j Xia?/!/,- = '
Cette conique est la même pour les cinq quadriques, le théorème est démontré.
6. Étant donnés un ellipsoïde rapporté à ses axes et une quadrique S, trouver V équation du lieu des centres des sections faites dans la surface S par les plans tangents à l'ellipsoïde.
Trouver les sections du lieu par les plans de coordonnées lorsque la surface S a ses axes parallèles à ceux de Vellipsoïde.
Chercher V intersection de ce lieu avec une quadrique concentrique
et homothétique à S, et en déduire un mode de génération du lieu en faisant varier le rapport d'homothétie.
(Concours académique, Aix et Montpellier, 1877.)
7 . Lieu des centres des quadriques de révolution passant par deux droites.
8 . Trouver V enveloppe des plans principaux des paraholoïdes qui sont conjugués par rapport à un tétraèdre dont Vun des angles trièdres est trirectangle .
En prenant cet angle trièdre pour trièdre de coordonnées, Téquation de la surface est
ku{u7. + 2r) + Bi?(i?P + 2r) -+- Ow[w-( H- 2r) = 0.
Les coordonnées des pians principaux vérifient les équations
k{u^ 4- r) __ B(-ofi 4- r) ___ {Mw-( H- r)
Au-hBv-hCw = 0.
En éliminant A, B, C entre ces équations, on a
t*a H- r t?fi -h 7^ wy -+- r qui est l'équation de Tenveloppe.
9. L'enveloppe des plans principaicx des paraholoïdes qui sont tangents en deux points donnés à deux plans rectangulaires fixes est une surface de troisième classe.
10. Quand on cherche les plans principaux d'une quadri que définie par son équation ponctuelle,
Aa?2 H- A't/2 -h A"52 + 2By 5 -h 2B'^a: + 2Wxy + 2C^t
-\- 20! yt + ^G'zt 4- D«2 =: 0, on est conduit à une équation du troisième degré, A — Œ B" B'
en posant
A'-CJ B
Al =
236 COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE
11 est aisé de voir que les racines de cette équation sont liées d'une manière fort simple aux racines de Téquation en S que nous avons étudiée précédemment,
dS3 — {ad — c2 -h a'd— c'^ + a''d — c"2)S2 -f.(A -f- A' + A")S — A = 0.
On a en effet (H 6)
arf — cî=:i-(A'A''— B2),
a''d-c"2=i-(AA'-B''^),
L'équation en S devient donc AiS3 - (A'A"— 324- A'A- B'2-j-AA'— B"5')AS2-h(A-4-A'-f- A")A2S— A» = ou
On en conclut que les racines des deux équations sont liées par la relation
ou
11. Surfaces de révolution en général. — Nous avons obtenu au numéro 183 l'équation tangentielle générale des quadriques de révolution. Nous nous proposons de montrer comment on pourrait obtenir l'équation tangentielle d'une surface de révolution quelconque.
Soit A(û7o, yo» -^o) un point quelconque de l'axe ; les équations de cette droite sont
Considérons un plan tangent quelconque à la surface de révolution
tea? -f- ry -h 10.Î -t- r = ; ce plan rencontre l'axe en un point M, et la valeur de p relative à
ce point est
uxq h- vyp-hwzQ H- r ^ " au -4- [it -h yto * ^ '
D'autre part la distance du point A à ce plan tangent est 3 __ uXf^-{-vyQ-hwzQ-hr ' v/it- -h v^ -h w'^ ' Pour toute surface de révolution o est fonction de p, puisque les plans tangents en tous les points d'un parallèle (plans qui sont à la même distance d'un point quelconque de Taxe) rencontrent Taxe au même point.
On aura donc une relation de la forme
en y remplaçant 8 et p par leurs valeurs, on aura Téquation tangentielle générale des surfaces de révolution
/ v^M^ 4- t?^ + 10^ aw + ^i? 4- Yi<?
\uxo -h vyo -+- wzo -\- r uxq -\- vyo -H to^o -f
On voit ainsi que pour obtenir l'équation d'une surface de révolution particulière, il faudra trouver la relation (3) entre 8 et p.
Supposons que cette surface soit définie par son axe et une courbe quelconque tournant autour de cet axe, et ayant pour équation tangentielle
En un point M de cette courbe, on peut lui mener une infinité de plans tangents, parmi lesquels un seul sera tangent à la surface de révolution ; ce plan sera déterminé en écrivant que la normale en M à ce plan rencontre l'axe.
Les coordonnées du point de contact du plan (w, r, w?, r) sont «?a, «p», ?R', ?!•; l'équation de la normale est alors
?r — ^ — ÏL
et pour que cette droite rencontre l'axe, on doit avoir
xao'i — Çu yoOr — «pu ^qo',- — o[o
On aura la relation cherchée entre 8 et p en éliminant m, i?, w?, r entre les équations (1), (2), (4) et (5).
Si l'équation (4) représente une surface 2, en faisant le même
238 COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE
calcul, on obtiendra l'équation d'une surface de révolution circonscrite à 2 .
On opérerait d'une manière analogue si la courbe qui engendre la surface de révolution était définie par ses équations ponctuelles.
L'équation tangentielle générale des surfaces de révolution est donc
Si la surface est de deuxième classe, cette équation aura la forme n^-hv^-hw^ Q2 Q
pi ^-«p2 + *p + ^ = 0'
en posant
P = ticco -H vyo -h wzo -h r, Q =z aw + ^t? 4- yw.
Cette équation peut s'écrire
t*2 + 1?2 + io2 4. aQ^ 4- b?Q + cP2 = ou
î^2 j t,2 | losi 4. (;q ^ mP)(rQ -t- m'?) = 0;
c'est l'équation générale trouvée au n** 183.
Cas particulier. — Supposons que l'axe de révolution soit l'axe des ;;; on aura
xo = yo = 20 = 0, a = ^ = 0, T = *»
y^ V^tt2 ^ t?^ + io2 ^ '
L'équation générale devient
ou en supposant r = i ,
Si Ton connaît l'équation tangentielle de la méridienne dans le plan des 2x,
on aura aisément l'équation tangentielle de la surface de révolution. En effet, pour qu'un plan tangent à cette courbe soit tangent à la surface, il faut et il suffit que ce plan soit perpendiculaire au plan de la courbe, c'est-à-dire qu'on ait
t^rzO.n
(*) On voit d'ailleurs que dans ce cas particulier le premier membre de la condition (5) se réduit à — t??u ; et oi n'est nul que pour les plans tangents particuliers dont le point de contact est sur Oz.
On éliminera donc w, lo, r entre les équations
o (m, Wy r) =z 0,
On obtient
<\/R;'-fO=».
et en remplaçant dans cette équation p et o par leurs valeurs (6), on a
o{^u^-hv^, w, r) = 0,
qui est Téquation de la surface de révolution cherchée* 11 suffit de remplacer dans l'équation de la méridienne u par
v^mM-^S ce qu'il serait facile d'établir directement. En appliquant cette formule au tore engendré par le cercle (m2 -h io2)R2 __ {ua -t- r)2 =
tournant autour de Oj, on trouve Féquation '
que nous avons obtenue au n» 61.
