CHAPITRE VIII
184. Étant donnée Téquation tangentielle d'une quadrique rapportée à des axes rectangulaires
nous nous proposons de trouver Téquation de cette quadrique rapportée à ses trois plans principaux si cette quadrique. est un ellipsoïde ou un hyperboloïde, à ses deux plans principaux et à son plan tangent au sommet si c'est un paraboloïde.
Dans le cas où Téquation (1) représente une conique, l'un des nouveaux plans de coordonnées sera le plan de cette conique ; les deux autres seront deux plans perpendiculaires passant par les axes, si la conique est une ellipse ou une hyperbole^ passant par l'axe et la tangente au sommet si la conique est une parabole.
Premier CAS. d^O,
La surface admet trois plans principaux,
UiX -h Viy -4- WiZ -h r*! = 0,
UiX -h V2y + w^z H- 7*2 = 0,
Les coefficients de ces plans étant déterminés à un facteur
RÉDUCTION DE l'ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ 241
près, on peut les assujettir aux conditions
ul-\-vl-^ivl = 1,
ul -4- «1 + «'5 = 1 .
Nous prenons ces plans respectivement pour plans des y'z\ des z'a/ et des x'r/.
On aura alors, au signe près,
a/ = UiX -+- v^y + WiZ -h /'i,
y' z=z u^x -f- v^y H- n'iZ -h /'2,
z' — U3X H- ihy H- ï/'aZ -h /'a.
Soit
wV 4- v'y' + «''-' -h /•' =
l'équation d'un plan par rapport aux axes O'x'y'z' ; ce même plan aura pour équation par rapport au premier système
%i'[uiX H- Vxy -H WiZ H- /'i) -h v\u2X -H v^y -+- w^z -h ?*2)
-h ti;'(i/8a: -f- Ugî/ -h ït'gZ -+- ^'3) -h /*' = ou
x[u{a' H- u^v' -+■ u^xv') -h y(î;iw' -h Viv' -+■ v^œ^)
-\- z{WiU' H- Wtv' -h î^3?^/) -h rjw' H- /'aw' -h r^w' 4- / = 0,
Si Ton désigne par w, y, it', r les coordonnées de ce plan dans le premier système d'axes, on aura, à un facteur près,
u = Utu' -h u^v' -h Waw',
V = ViU' -h V2V' -{- VzW\
r = ri m' -h Viv' -h riw' -h /•' ;
l'équation de la surface sera donc
f{uiu' + U2V' -4- W3M;', Ujm' -f- Ugu' H- UaW^', ««-'iw' -h t^'2u' H- ^(;3^(;',
rjw' 4- /•2î^' + r^w' -h r') = 0.
On peut récrire
f{uiu' H- U2V' -{- Uzw\ v{u' -f- vio' -h î;3^(;', ii^iw' + iC2o' H- !t'3M;',
riM'-f-rîv'H-r3!^')-|-r'/*r(wiM'-i-W2t^'4-W3M^', ViU'-k-vio'-\-v^u/^
WiU'-^w^v'-^wnjc/, i\u''\-r2v'+r^w')-^-f[^, 0, 0, r') = 0,
242 COORDONNÉES TANGENTI ELLES. — GÉOMÉTRIE DANS l' ESPACE
OU, en développant,
-H2wV(wi/*ij+.-)-|-uV/*;(w„ r„ tt'i, r,) + vV/*;(w2, rs, W2, n) -h w'r'f'riu^, vg, w^, ra) -H rf/^ = 0. (2)
Or, en désignant par Si la racine de Téquation en S à laquelle correspond le plan principal (mi, u,, m',, rj), on a
f'u, = 2SiU„ /•;, = 2S,î;„
Multiplions ces quatre équations respectivement par Wi, l'i, Wi^ n et ajoutons-les membre à membre; il vient
2/-(wi, r„ u;„ rO = 2Si(wî 4- v? + î(^?) ou
/•(w,, vi, m;,, n) = Si.
On a de même
/•(wa, 1?2, W^2, î^â) = S2,
En outre, les coefficients de uV, w^u\ u'v' sont nuls puisque les trois plans principaux sont conjugués deux à deux ; les coefficients de wV, rV, tc^r' sont également nuls, puisque les^ coordonnées des plans principaux vérifient la relation
On en conclut que l'équation de la surface rapportée à ses plans principaux est
Siu'* + Sîij'* + SaM;'^ -^ rfr'2 = ; on en déduit immédiatement Téquation ponctuelle
îS| OJ ÎS3 di
185. Les signes des quantités Si, Si, S3 et d indiquent la nature de la surface. On pourra toujours avoir les signes des
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racines de l'équation en S, à l'aide de la règle de Descartes, puisque cette équation a toutes ses racines réelles.
