Les carrés des demi-longueurs des axes sont — -jt S2 S

Si p désigne la demi-longueur d'un axe et S la racine correspondante de réquation en S, on aura

d'où

S = — rfp^

On obtient donc l'équation aux demi-longueurs des axes en remplaçant S par cette valeur dans l'équation en S .

187. Supposons maintenant que l'équation (1) représente une conique, ellipse ou hyperbole.

L'équation en S a une racine nulle S3 = 0, et deux autres racines non nulles Si et S2.

A la racine nulle correspond le plan de la conique, et aux deux autres racines correspondent les plans principaux dé la conique, c'est-à-dire les plans passant par les axes et perpendiculaires au plan de la courbe.

En faisant le même calcul que plus haut, on voit que l'équation réduite de la courbe est

Siw'«-i-S2t?'2 -1-^/2==: 0; les équations ponctuelles sont

x'^ y'^ -1 -- Si Sa rf

La nature de cette conique dépend des signes de Si, S2 et d. En particulier si Si = S2, la conique est un cercle.

188. Enfin, si l'équation (1) représente deux points, l'équation

244 COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE

en S a deux racines nulles Sa = S3 = 0, et une racine Si différente de zéro.

A cette racine correspond le plan passant par le milieu des deux points et qui est perpendiculaire à la droite qui les joint. En prenant ce plan pour plan des x(z\ et pour plans des x'\( et x'z' deux plans perpendiculaires quelconques passant par la droite joignant les deux points, Téquation de l'ensemble de ces points devient