Équation générale des points situés dans un plan
Nous allons montrer que Téquation générale des points situés dans le plan des trois points Ai, Aa, A3 représentés par les équations (8) est
^iPi -h X2P2 4- ^aPa = 0, (9)
X,, Xa, X3 étant des nombres quelconques.
Nous désignerons par Q le plan de ces trois points. Remarquons d'abord que quelles que soient les valeurs de X,, Xj, X3, l'équation (9) représente un point situé dans le plan Q, car les coordonnées de ce plan annulent P,, P2, P3 et par suite vérifient réquation (9).
Il faut démontrer en outre qu'on peut disposer de Xj, Xg, X3 de manière que l'équation représente un point M choisi arbitrairement dans le plan Q.
Pour cela, par le point M menons deux plans quelconques Q'(w', v', w\ /) et Q"(u", v\ îv\ r"), et écrivons que l'équation (9) est vérifiée par les coordonnées de ces plans ; on a
^iP'i H- ^aP; -+- ^aP's = 0, XiPj -+- X2P5 -4- X3P5 = ;
ces équations déterminent X,, Xj, X3 à un facteur près, et en portant les valeurs trouvées dans l'équation (9), on obtient
Pi P2 P3
Pi' P2' P3' =0,
qui représente un point situé à la fois dans les plans Q, Q' et Q" ; ce point est donc le point M, et le théorème est établi.
Il résulte de là que les coordonnées homogènes d'un point quelconque situé dans le plan des trois points sont >!«, 4- Xatta -+- Xgtta , Xj^i -+- X262 -H X363 , XiCj + X.c. 4- X3C3 ,
Xjrfi -H X2(/2 •+- ^s^i'
Si l'on désigne par a:,, y^, s, les coordonnées cartésiennes du point A, {i = i, 2, 3), les coordonnées cartésiennes d'un point quelconque M du plan A1A2A3 seront
18 COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS L'eSPACE
XiO?! -h \iX2 H- Xaa^s XiJ/j -f- Xg^S -H ^3^3 ^l2t -^ ^2S2 -H ^3[33
>^i H- ^2 -H >^3 ' V+"X7+"^^ ' Xi-t-Xa-i-Xa
Nous obtenons ainsi une interprétation géométrique des nombres X,, X,, X3; ce sont les nombres qu'il faut faire correspondre aux points Aj, A2, A3 pour que le point M soit le centre des distances proportionnelles de ces trois points, ou, si Ton veut, ces nombres sont les intensités des trois forces parallèles qu'il faut appliquer aux trois points Ai, Ag, A3 pour que leur résultante passe par le point M.
18. Condition pour que quatre points soient dans uni même plan. — Soient
P, = a^u H- biv -+- Ciiv -h diV = 0,
P3 = a^u -h bzv -h c^w -h d^r = 0,
les équations de quatre points.
Pour que ces points soient dans un même plan, il faut et il suffît ^que ces quatre équations aient un système de solutions non toutes nulles en w, Vy w^ r. La condition cherchée est donc
On peut aussi raisonner de la manière suivante :
Pour que le point P^ = soit dans le plan qui contient
les trois premiers, il faut et il suffit que son équation puisse
s'écrire
X,Pi-hX2P2-+->3P3 = 0;
cette équation devant représenter le même point que l'équation P4 z= 0, leurs coeflicients seront proportionnels, et on
aura
XiPi -+- A2P2 -f~ X3P3 ^ — x^p^
bi
rf.
ùi
>^iPt -h >îP2 -+- >^3P3 H- X^P, = 0.
Donc, pour que quatre points soient dans un même plan\ il faut et il suffit quHl existe quatre nombres non nuls Xi, Xg, Xg, X^ de façon qu'on ait Videntité qui précède.
En développant cette identité, c'est-à-dire en écrivant que les coefficients de m, v, w, r sont nuls, on a quatre équations linéaires et homogènes par rapport à Xj, Xj, X3, X^, dont le déterminant doit être nul ; on retrouve la condition écrite plus haut.
19. Exercice. — Une droite rencontre les faces d^un tétraèdre ÂBGD en des points A', B', C, D', A' étant dans la face opposée à A, B' dans la face opposée à B, etc. Démontrer que les milieux des droites AA', BB', CC, DD' sont dans un même plan ,
Soient te,-, t?,-, to/, ri {i = 1 , 2, 3, 4) les coordonnées des faces du tétraèdre ; considérons le déterminant
«1 f3i wi ri
Ui Vi w^ Ta
u^ Vs w?3 Ta
et désignons par Ui, V„ W„ R, les coeffîcienls des petites lettres correspondantes dans le développement de A .
Les coordonnées cartésiennes du point A sont alors ^ , 5^ » ^
et si Ton prend la droite donnée pour axe des a?, celles du point A'
2\H, uj'
sont — — , 0, 0.
Les coordonnées du milieu de AA' sont alors
V Wi
-^ » std" ' 6t Téquation de ce point s'écrit
u /Ui r, \ , r V, ^ w VV,
ou
u{\]iUi — Rin) -h vVjMj -H w?WiUi H- 2rRit*i — 0.
Les équations des trois autres points seront
lf(U2W2 — R2^2) + VV2U2 H- wVf2U2 + 2rR2M2 = 0,
«(U3M3 — Rans) H- vVatfa -f- wV^-^ic^ + 2rR3W3 =r 0, w(U4W4 — Rin) -h t?V4W4 -+- wVf^Ui -h 2rR4W4 = 0.
20 COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE
Ajoutons ces quatre équations, nous obtenons une identité, car SUfWt est le développement de a par rapport aux éléments de la première colonne, de même I^Rtri = a ; enfin 2V,m,- est égal au déterminant A dans lequel on remplace les éléments de la deuxième colonne par ceux de la première ; c^est un déterminant qui a deux colonnes identiques, il est nul.
On voit ainsi que les quatre pointa sont dans un même plan.
20. Etant donnés quatre points non situés dans un même plan et ayant pour équations
P, = 0, l\ = 0. Pa = 0, P, = 0,
réquation d'un point quelconque de Tespace peut se mettre sous la forme
ÀiPi + X2P2-f->^3P3-hX^P^ = 0.
Ce résultat a déjà été établi dans le cas particulier où le point est situé dans Tune des faces du tétraèdre déterminé par les quatre points donnés, car nous avons vu que l'équation générale des points situés dans le plan des trois premiers
points était
X,Pi -h /.P, H- X3P3 = 0.
Soit un point M quelconque; la droite MPi rencontre le plan P2P3P. en un point N, lequel a une équation de la forme
X2P2H->3P3-HX,P, = 0.
Le point M étant alors sur la droite NP,, son équation pourra
s'écrire (13)
Ce théorème peut être établi d'une manière différente, comme on le verra plus loin dans l'étude des coordonnées tétraédriques.
21. De la droite. — Nous avons vu précédemment (12) qu'une droite était représentée en coordonnées tangentielles par les équations de deux de ses points,
P z=i au-\-bv-\- cw-hdr = 0, P' = a'u -+- b'o H- c'w -+- d'r = 0.
Si on élimine u entre ces deux équations, on a
aP' — fl'P = {ab' — ba')v -^ {ac' — ca')w 4- {ad! — rfa> = 0.
Cette équation représente un point situé sur la droite et dans le plan des yz ; c'est donc le point de rencontre de ce plan et de la droite.
On obtiendrait de la même manière les équations des points de rencontre de cette droite avec les deux autres plans de coordonnées en éliminant veiw entre les équations données; mais si on élimine r, on obtient Téquation du point à Tinfini de la droite
{ad' — da')u -h {bd' — db')v -t- {cd' — dc')w = ;
il en résulte que les paramètres directeurs de cette droite sont ad' — da\ bd' — db\ cd' — de' .
On peut ainsi représenter la droite par deux équations tangentielles ne renfermant chacune que trois variables.
Si Ton suppose ab' — ba' :pt 0, la droite ne rencontre pas Taxe des z ; on peut résoudre les équations
par rapport à w et v, on a des expressions de la forme
u = Iw-h pr,
V = mw -h qr^ '
et ces équations représentent les points de rencontre de la droite avec les plans des zx et des yz.
Si ab' — ba' = 0, la droite rencontre Oz, et on peut prendre pour Tune de ses équations Téquation du point de rencontre de cette droite avec Os, l'autre étant, par exemple, réquation du point de rencontre avec le plan des xy , ou encore le point à l'infini.
22. Coordonnées d'une droite. — Les coordonnées d'une droite doivent être des nombres fixant la position de cette droite dans l'espace, et ces nombres doivent être choisis de telle manière qu'étant donnée la droite, les valeurs correspondantes de ces nombres soient bien déterminées.
22 COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE
Si une droite est définie par les équations de deux de ses
points,
P = au -H ^u -1- C2^ H- dr = 0,
P' = a'u -^ b'v -\- dw + d'r = 0,
il ne faut pas songer à prendre pour coordonnées de cette droite les coefficients qui figurent dans ces équations ; ces nombres fixent bien la droite dans Tespace, mais, réciproquement, étant donnée la droite, ces nombres ne sont pas déterminés, puisque ce sont les coordonnées de deux points quelconques pris sur la droite.
On pourrait choisir par exemple les coordonnées des points de rencontre de la droite avec deux plans fixes, deux plans de coordonnées si Ton veut, mais cette représentation serait illusoire dans le cas où la droite rencontrerait l'intersection des deux plans fixes.
Ainsi pour les droites qui ne rencontrent pas Taxe Oz et qui sont représentées par des équations de la forme
u = lw-\- p)\
V = mw 4- qpy
les nombres /, m^ p, q pourraient être pris comme coordonnées, mais il faudrait un nouveau système pour les droites rencontrant Oz.
Ces remarques s'appliquent aussi bien dans la représentation de la droite en coordonnées ponctuelles. On sait en effet qu'une droite non parallèle au plan des xy peut être définie par les équations
y = àz-^q]
les nombres a, ^,;^ q peuvent être pris comme coordonnées de la droite ; mais ce mode de représentation ne s'applique plus aux droites parallèles au plan des xy.
C'est pour ces raisons que Plucker a indiqué un système de coordonnées de droites, universellement adopté aujourd'hui, et qui a le grand avantage de se déduire aussi aisément des représentations ponctuelle et tangentielle de la droite.
Si Ton désigne par x\ y', z' les coordonnées d'un point d'une droite et par a, p, y ses paramètres directeurs (*), les équations ponctuelles de cette droite peuvent s'écrire
il en résulte que les projections de cette droite sur les plans de coordonnées ont pour équations
ya? — az = -^(x' — az', ay — pa? = ay' — par'.
Posons
70/ — oLz' = m, «?/' — par' = n ; les six quantités a, p, v, /, m, n sont dites les coordonnées de la droite.
Remarquons tout de suite qu'elles vérifient la relation
/a-hmp + nY = 0, (i)
et qu'elles ne sont définies qu'à un facteur près ; elles ne dépendent donc que de quatre paramètres.
Les projections de la droite sur les plans de coordonnées ont alors pour équations
ya? — OLZ = m, ï (2)
oLy — Par = n, >
ce qui montre qu'étant donnée la droite, les six coordonnées sont déterminées à un facteur près.
En multipliant ces équations respectivement par ar, y, z, puis
ajoutant, on a
Ix -+- my -t- wz = 0,
équation du plan passant par l'origine et par la droite.
(*) C'est-à-dire les coordonnées d'un point quelconque de la parallèle à cette droite menée par Torigine .
24 COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS L'eSPACE
Supposons maintenant qu'une droite soit définie par les coordonnées homogènes de deux de ses points, a^j, i/j, Zi, U et 0:2, î/2, Z21 ^î-
Les projections de cette droite sur les plans de coordonnées ont pour équations
= y{Zit2—tiZt)-^-z{tiy2—yit2)-ht{yiZ^,^Ziyi) = 0,
= x{Zit2—tiZ2)'i-z{tiX2 — XiU)-\-t{xiZ2 — ZjXj) = 0,
x{y^t2'-ti^j2)-^y{tiX2—Xit2)'ht{xiy2—yiX2) = 0.
Zi
ti
Zi
ti
Xi î/î t2
En comparant ces équations aux équations (2), on obtient des quantités proportionnelles aux coordonnées de la droite ; on a ainsi
a = X(a?,^2 — hXi), l = MytZi — 212/2), ]
p = 'k{yit2— tiyt), m = ^(zij^s — XiSo), S (3)
Y = X(zif2 — te), n = Xxiy2 — yiX2). )
Si Ton remplace dans les seconds membres a?i, i/i, Zi, fj et Xi^ y2y ^25 ^2 par les coordonnées de deux autres points quelconques pris sur la droite, les quantités a, p, y, U wi, n varient proportionnellement ; on peut le vérifier directement, mais cela résulte du calcul précédent.
Supposons enfin que la droite soit définie par l'intersection de deux plans ayant pour équations
UiX + Viy -t- tViZ -h Vit = 0,
H2X 4- viy + WtZ -h r^t = 0.
Formons les équations des projections de cette droite en éli-
minant successivement x^ y^ z entre les deux équations ; on a
{U1V2 — ViUi)y H- {UiW2 — WiU2)z -h (Mjrj — ViU^jt = 0,
{ViU^ — Uiv^jx -f- (viWi — WiV2)z -^ {virz — nug)^ = 0,
{WiU2 — UiW2)x -+- {WiV2 — ViW2]y -4- («^1^2 — nii^a)^ = ;
comparons encore ces équations avec les équations (2) ; on a
a == ii{viW2 — WiVi), l = fx(w,r2 — rjWa),
p = fx(w;,W2 -— UiW2), m = fx(uirî — ^^2),
Y = [^(«1^2 — U1W2), n = Kw^ir^ — riw;2).
Si Ton remplace dans les seconds membres w^ ^i, ?^i> n et Mj, «2, î^2î ^8 V^^ l^s coordonnées de deux autres plans contenant la droite^ les quantités a, p, y^ ^ ^» ^^ varient proportionnellement ; on peut le vérifier directement , mais cela résulte du calcul précédent.
A l'aide de ces coordonnées de la droite on peut écrire les équations tangentielles de la droite analogues aux équations ponctuelles (2). Cherchons en effet les équations tangentielles des points de rencontre de la droite avec les plans de coordonnées et le plan de Tinfini ; pour cela, éliminons successivement t/, V, w, r entre les équations tangentielles de la
droite
uXi -f- vyi H- wZi -h Hi = 0,
UX2 -h vyî -h WZ2 -+- rtî = 0.
On obtient aisément, en tenant compte des formules (3),
miv — 7iv =z oLr,
nu — Iw = f r,
Iv — mu = Y'^
oLu -{- ^v -h ^{W = .
En résumé, les coordonnées d'une droite sont six nombres «> Pî Tî K ^î ^ qu'on peut définir par les formules
26 COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE a = l{Xit2—tiX2) = ^i■{v^Wl — WlV^),
P = HViti — titji) = fi(u;iMj — u^Wi),
l = X(j/iS5 — z,j/î) = fi(Wir2-— rjMa), m = \{ZiX2 — XiSj) = iJL(vir2 — nvî),
où a?i, î/i, Zi, ^1 et ar2, ^2, ^2, <2 désignent les coordonnées homogènes de deux points quelconques pris sur la droite, et ^M ^n ^tî ^i ^^ ^2, Vj, Wi, ra les coordonnées de deux plans quelconques contenant la droite.
Ces coordonnées vérifient la relation
/a -h mp -f- ny = 0.
En outre, on peut définir ponctuellement la droite par deux quelconques des équations
f 2 — Ï2/ = ^^ YO? — az = mt, ay^x = n(, Ix -h 7n\j -k- nz = 0,
ou, tangentiellement, par deux quelconques des équations mw — nv = OLP, nu — Iw z= pr^ la — mu = ^r,
au -i- ^v -{- ^w = .
Ces six coordonnées ne peuvent être nulles en même temps.
Si les trois coordonnées /, m, n sont nulles, on voit que la droite passe par Torigine ; si a, p, y sont nulles, la droite est à rinfini, elle est déterminée alors par les équations
Ix H- my -h nz = 0,
23. On démontrera comme au numéro 2 que les conditions géométriques imposées à une droite s'exprimeront par des relations homogènes entre ses six coordonnées.
Exemples. I. Écrire qu'une droite a rencontre une autre droite A'. Soient a, p, y, l, m, n et a', p', y', l\ m', n' les coordonnées des deux droites; si Ton désigne par a?!, i/i, 21 et œ\, i/J, j', les coordonnées cartésiennes de deux points appartenant chacun aux droites A et a'^ on sait que la condition pour que ces droites se rencontrent est
ce qui peut s'écrire, en tenant compte des formules ^ = P-i — T2/1,
... etc., dV H- pm' H- yn' -h ^a' H- m?' -h n^ = 0,
relation homogène et linéaire par rapport aux coordonnées de la droite A.
[1. Ecrire qtCune droite A est normale à, une quadrique. Supposons que la quadrique soit un ellipsoïde rapporté à ses axes et ayant pour équation
Les équations d'une normale en un point (a?, y, z) de cette surface sont
a?, y, z vérifiant Téqualion de Tellipsoïde.
Or ces équations peuvent s'écrire
en désignant par a, p, y, ^, w^i, n les coordonnées de cette normale,
28 COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE
on aura
a = X^, l = lyz(J^^iy
Les trois équations de gauche donnent
remplaçons ces valeurs de a?, y, z dans les équations de droite et dans Téquation de rellipsoïde ; on a
/7.2a2 4 A2ft2 4 ^2^2
Py(c2 g^2) __^ Ya(a2 c2) __ ap(&2 — a») . . l m n '
ou, en éliminant X,
telles sont les conditions cherchées.
Il n'y a en réalité que deux relations, car si les deux premiers rapports sont égaux, ils sont égaux au troisième en vertu de la relation (1).
24. Pour déterminer une droite, il sera nécessaire d'avoir quatre relations entre ses coordonnées ; on y joindra l'équation (1) et on aura ainsi cinq équations qui détermineront les coordonnées à un facteur près.
Ainsi, pour obtenir les droites qui rencontrent quatre droites données ayant pour coordonnées a,, p,, y» /,, m,, n, (i = 1, 2, 3, 4), il faudra résoudre les équations
a/j -H ^rrii -f- yn, -|- aj -h pim -f- Y,n = 0^ a/, -+- Pmg + Y^î -+- oL^l H- %m -h -(^n = 0, a/3 -h prwg -h Y^s ■+• «3^ + P3W ~i- Ys^ = 0, a/j + pm^-f Yn^H-a^/-t- P^m-f-Y^w = 0, a/ H- pm -f- YW = 0.
25. Si Ton donne une seule relation entre les coordonnées d'une droite, il existera une infinité de droites dont les coordonnées vérifieront cette relation ; Tensemble de ces droites constitue ce qu'on appelle un complexe^ dont le degré est par définition le degré de la relation donnée, supposée algébrique, entière et homogène.
L'équation générale du complexe du premier degré ou linéaire est
Aa-t- Bp 4- Gy -h D/ H- Em -t- Fn = 0. (4)
Dans le cas particulier où l'on a
AD -h BE -+- CF = 0,
on peut considérer les quantités A, B, G, D, E, F comme les coordonnées d'une droite a ; la condition (4) exprime que les droites du complexe rencontrent la droite A, et 'que, réciproquement , toute droite qui rencontre A appartient au complexe.
On dit alors que le complexe est spécial^ et l'on peut considérer la relation (4) comme l'équation de la droite en coordonnées de droites. D'une manière générale on appellera équation d'une surface ou d'une courbe en coordonnées de droites, la condition pour qu'une droite soit tangente à une surface ou rencontre la courbe .
On verra aisément que les équations en coordonnées de droites de l'ellipsoïde
x^ v^ z^ a^ b^ c* ou de l'ellipse
sont respectivement
30 COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE
la seconde pouvant d'ailleurs se déduire de la première en faisant c = 0.
Mais il est essentiel d'observer que ces équations représentent des complexes particuliers ou spéciaux; en d'autres termes, toutes les droites d'un complexe ne sont pas en général tangentes à une surface ou ne rencontrent pas une ligne, et par conséquent toute équation homogène entre les coordonnées d'une droite n'est pas l'équation d'une surface ou d'une ligne.
Ainsi l'équation (4) ne représente une droite que si
AD -+- BE -h CF = 0.
26. Théorème. — Par un point ,de Vespace il passe une infinité de droites appartenant à un complexe linéaire ; toutes ces droites sont situées dans un même plan.
Soit Aa + B^ + CY-f-DZ + Em-hFn =
l'équation du complexe, et P(a?', y\ z\ t') le point donné.
Par ce point menons une droite quelconque sur laquelle nous prenons un point M(a7, y, z, t) ; les coordonnées de cette droite sont alors, à un facteur près,
^ •=. xV — tx\ l •=. yz' — zy\
^ z=i yt' — ty'y m = zx' — xz',
•^ =z zt' — tz', n =. xy' — yx',
et pour que cette droite appartienne au complexe, il faut qu'on ait
k[xt' - tx') -f- ^{yf — ty') H- C(3«' - tz') + lS{yz — zy')
+ E^a?' — xz') +F [xy' — yx') = ;
cette équation représente un plan qui est le lieu que doit décrire le point M pour que la droite PM appartienne au complexe. Or ce plan passe par le point P, il est donc le lieu des droites du complexe qui passent par le point P.
27. Théorème. — Dans un plan quelconque il existe une infinité de droites appartenant à un complexe linéaire ; toutes ces droites passent par un même point.
Soit P(w', v', w', r') le plan donné. Un plan quelconque Q(w, V, 10, r) coupe le plan P suivant une droite ayant pour coordonnées
LE POINT, LE PLAN ET LA DROITE 3i
a = vw' — wv\ l = ur' — i*w',
P = wii' — uvo'y m =z vr' — ri?',
Y = uv' — vu'f 71 = wr' — rw' .
Pour que cette droite appartienne au complexe, il faut qu'on ait
k{vw' — wv') -f- B(iow' — uvo') + C[uo' — vu') H- D(ter' — ru')
-+- E(t?r' — rv') + F(ior' — no') = 0.
Cette équation représente un point, par lequel doit passer le plan Q pour que la droite intersection des deux plans P et Q appartienne au complexe. Or ce point est dans le plan P, donc toutes les droites du plan P qui appartiennent au complexe passent par un point fixe.
28. Si Ton donne maintenant deux relations entre les coordonnées d'une droite, il existe encore une infinité de droites dont les coordonnées vérifient cette équation ; Tensemble de ces droites constitue une congruence. En somme on peut dire qu'une congruence se compose des droites communes à deux complexes.
Les droites d'une congruence dépendent de deux paramètres variables, tandis que celles d'un complexe dépendent de trois paramètres.
Ainsi les tangentes à une surface forment un complexe, tandis que les normales constituent une congruence.
Enfin, toutes les droites dont les coordonnées vérifient trois relations appartiennent à une surface réglée.
29. Pour traiter les questions d'angles et de distances en coordonnées tangentielles, on peut utiliser les formules connues^ dont l'application n'offre aucune difficulté.
Si l'on veut obtenir, par exemple, la distance du point qui a
pour équation
aw -t- 6u -h civ H- rfî' =
au plan qui a pour coordonnées t(i, ui, iv^^ rj, il suffit de remarquer que les coordonnées cartésiennes du point sont
~7 ' -:i ' -r ' de sorte que la distance cherchée est, si les axes a a d
sont rectangulaires,
± \Ju\ H- v? -h w\ ou
ai/j -f- hv^ -4- ciOi H- rfri
± dslu\ -h u^i -h w\
30. Distance d'un point à une droite. — Supposons que la •droite soit définie par les deux équations
ait/ -H biV -f- CyW -H diV = 0,
a2W -h b2V -+- C2î^ + rfî^ = 0,
^t désignons par x\ y\ z' les coordonnées du point.
Les équations ponctuelles de la droite peuvent alors s'écrire «1 bi c,
d^ di di
fli aj bi b.2 Ci Cg
di di rfi di di di
et, d'après une formule connue, la distance cherchée 8 est
donnée par la relation
\fl?i û?2/ \c^i diJ \di diJ oii Ton pose
Si Ton introduit les coordonnées a, p, y, /, m, n de la droite, on obtient
g. ^ i?^' — r/ - 0^ -^ ( Y^^ - o:;^ — m)^ ^ (ay^ - ?x' ^ nY
31. Plus courte distance de deux droites. — Supposons les deux droites déterminées par leurs coordonnées
A(«, P, ï, l, rn, n) et A'(a', p', y', /', m\ n').
On sait que la plus courte distance des droites qui sont définies par les équations
x—Xj y — yi __ z — Zj
X — Xi y — y;z — 2;
est
Xi — jr'j a a'
yi-Vi P P'
en développant le numérateur comme au numéro |23, cette distance devient
al -f- pm' •+• yn' -f- a'/ H- p'm -f- fn
ïTfPï- ïPT + lï»'- «ïT + («P -Fi^'
EXERCICES ET NOTES
1. Lorsque dans un tétraèdre deux arêtes sont respectivement perpendiculaires aux arêtes opposées, les deux autres arêtes sont également perpendiculaires entre elles.
Soient m,, t?„ wj„ n les coordonnées d'une face P, (t = 1, 2, 3, 4). Pour que les arêtes, intersections de Pi, P, et de P3, P4, soient perpendiculaires, il faut qu'on ait la relation
[viW.^ — WiVî)(v.iWi, — w.jVi,) + {WiUi — UiW2)[\J0^Ui, — 1^3104)
+ (MiUi -- ViUitu^Vi, — V.^Ui,) = 0,
qu'on peut écrire, en désignant par [ij) la somme UiUj + ViVj -h w?,m?;, (13X24) ~(14)(23) = 0.
De même, pour que les arêtes, intersections de Pi, P3 et de P2, P4,
34 COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE
soient perpendiculaires, il faut qu'on ait
On en déduit
ce qui prouve que les arêtes Pi, P4 et P2, P3 sont perpendiculaires.
2 . Lorsque dans un tétraèdre les arêtes opposées sont perpendiculaires^ les quatre hauteurs se rencontrent en un même point.
En désignant par P{ l'expression u,a? -+- Viy +ic,.s + r,-, on voit aisément que la hauteur perpendiculaire à la face Pi a pour équations ponctuelles
On forme de même les équations des autres hauteurs, et en tenant compte des conditions de Vexercice précédent^ on voit que ces droites passent par le point qui est défini par les équations
Pi P2 A- A
(i^^)(<3) -(12) -(13) ""(14)' (23) La réciproque est vraie.
Un tétraèdre dans lequel les hauteurs passent par un même point est appelé tétraèdre orthocentrique, et le point de rencontre des hauteurs s'appelle Vorthocentre.
3. Dans un tétraèdre orthocentrique, les perpendiculaires communes aux arêtes opposées passent par Vorthocentre.
4. Soient Pi, Pa, P3, P* quatre fonctions linéaires, homogènes et indépendantes par rapport à w, 1?, lo, r ; en égalant ces fonctions à zéro, on a les équations de quatre points non situés* dans un même plan.
Considérons les quatre droites représentées par les équations
El^Pl^fi^ (A,)
Pl__P^P3. (A,)
Nous nous proposons de démontrer que ces quatre droites sont sur un hyperholoïde si Ton a
quels que soient t et j.
La droite Ai est située dans le plan des trois points P2, P3, P4 ; une droite quelconque rencontrant Ai a pour équations tangenti elles
Cherchons à déterminer Xa, X3, \ de manière que cette droite rencontre Ag, A3 et A4.
De ces dernières équations on tire
et, en remplaçant dans les équations de A2, As» A4, on trouve aisément les conditions suivantes :
Û24 û^23 ^34 ^32 ^Us «42
Si l'on a
on pourra prendre
et les quatre droites données seront rencontrées par la droite
«34P2 = «42P3 = «23P4. (Di)
On verrait de même que ces quatre droites sont rencontrées par les droites
a4iP3 = «13P4 = «34P1, (Da)
ai2P4 = «24P1 = «41P21 (D3)
11 en résulte que les quatre droites A constituent quatre génératrices d'un même système d'un hyperholoïde, et Ton voit de plus que les quatre droites D sont quatre génératrices de système différent de la même surface.
Un raisonnement analogue montrerait que le résultat suhsiste dans le cas où Pi, P2, P3, P4 désignent des fonctions linéaires et homogènes de a?, y, s, t ; les droites sont alors représentées par des équations ponctuelles.
On voit, en particulier, en se reportant à l'exercice 2, que les quatre hauteurs d'un tétraèdre quelconque sont sur un hyperholoïde .
5. Étant donnés un triangle ABC et un point dans Vespace, on mène par le point le plan conjugué de OA par rapport à un cône r de sommet 0, ce plan rencontre BC en A' ; on mène ensuite par le point l^ plan conjugué de OB qui rencontre CA en BS enfin le plan conjugué de OC qui rencontre AB en C. Démontrer que les points A', B', C sont en ligne droite.
On emploiera la même méthode que dans rexercice résolu au n» 15.
En désignant par
l'équation du cône r, le plan conjugué de OA a pour équation
a-?;, H- yoy^ -f- icpij = 0.
6. On coupe une pyramide triangulaire SABC par un plan qui rencontre les arêtes SA, SB, SC respectivement en A', B', C. Démontrer que les trois droites, intersections des couples de plans (BCA', B'C'A), (CAB', C'A'B), (ABC, A'B'C), sont dans un même plan,
7. Si deux tétraèdres ont leurs sommets deux à deux sur quatre droites concourantes ^ les faces correspondantes se coupent suivant quatre droites situées dans un même plan^ et réciproquement.
8. On donne un trièdre Oxys^ un triangle ABC fhnt le plan passe par le sommet du trièdre et un plan P. On prend un point M quelconque dans le plan P ; le plan MBC coupe Ox en a, le plan MCA coupe Oy en p, le pla7i MAB coupe Oz en y ; démontrer que le plan a'^^( passe par un point fixe.
Prenons les arêtes du trièdre Oxyz comme axes de coordonnées ; nous supposons que les côtés du triangle ABC sont à Tintersection du plan du triangle
Q =z ax -\- by -^ cz =z et de trois autres plans,
Pj = a^x + ftiî/ + c,û 4- c^i = 0, Pj = a^x + biy + C2Z + ^2 = 0, P3 = a^x + b^y 4- Cjj -4- rfg = 0, qui passent respectivement par les côtés BC, CA, AB.
Soit ux -\- vy -\- wz -h r =z
Téquation du plan a^v ; le point a a pour abscisse 1 le plan
«BC a pour équation
Q Pi
— ar — air -f- rf^w ' de même les plans PCA et yAB ont respectivement pour équations
— br — b^r + d^v *
— cr — C;,r -f- c^jio
Tout revient à écrire que ces trois plans se coupent en un point situé dans un plan donné P.
Les coordonnées du point de rencontre vérifient les équations
Q^ . aPt __ &P2 CP3
r ttiV — diU b^r — d^v c^r — d-^w '
or réqualion d'un plan quelconque peut s'écrire ^«H-/PiH-mP, + nP3 = 0;
on aura donc la condition
hr-\ (air — c/im) -h -r- [b^r — d^v) -\ [c^r — d^w) = 0,
ce qui montre que le plan aPy passe par un point fixe.
9. On donne un plan P et une oblique OA ; par cette oblique et par une droite quelconque OB du plan P, on fait passer un plan, et l^on mène dans ce plan la perpendiculaire OC à la droite OB ; puis on fait, dans le plan P, Vangle BOD égal à un angle donné. Démontrer que le plan COD passe par une droite fixe,
10. On donne une sphère S, un plan P et un point A. Par le point A on mène une droite quelconque, qui rencontre le plan P au point B. Sur AB comme diamètre on décrit une sphère. Démontrer que le plan radical des deux sphères passe par un point fixe.
Soit ux-^vy-Y-wz-^r =.
Téquation du plan radical ; si S = désigne Téquation de la sphère donnée, la sphère variable aura une équation de la forme
S + \{nx -^vij-\-xoz-\-r)'=: ;
on écrira que celte sphère passe par le point A, et que si Ton joint le centre au point A, la droite obtenue rencontre le plan P en un point symétrique de A par rapport au centre.
On aura deux relations entre lesquelles on éliminera X, et il restera une équation du premier degré par rapport à u, r, to, r.
38 COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE
11. On donne une sphère et un plan; si Von décrit une sphère quelconque touchant le plan en un point donnée le plan radical des deux sphères passe par une droite fixe,
12. Si un cône ayant pour sommet le centre d'un ellipsoïde et pour base une section plane, coupe suivant un cercle le plan tangent à Vune des extrémités du grand axe, le plan de la section passe par Vune ou Vautre de deux droites fixes situées dans le plan de Vaxe moyen et du petit axe,
13 . Si d*un point on abaisse des perpendiculaires sur trois diamètres conjugués quelconques d*un ellipsoïde, le plan mené par les pieds de ces perpendiculaires passe par un point fixe.
Prenons pour axes de coordonnées les axes de l'ellipsoïde, et soit
l'équation de cette surface.
Soit ux -\- vy -{- W2 -\- r z=z
réquation d'un plan Q passant par les pieds des perpendiculaires menées du point donné P(a7o, i/o, 2^0) sur trois diamètres conjugués. Ces trois points sont situés sur la sphère de diamètre OP,
x'^-hy^ + ^i^ — xxq — yy^ — 5Jo = 0.
11 nous suffira d'écrire que le cône ayant pour sommet l'origine et ^'appuyant sur le cercle section de la sphère par le plan Q contient trois diamètres conjugués de l'ellipsoïde.
L'équation de ce cône est
r(x^ H- î/2 + c2) H- (370?^ -\- yyQ + z2q){ux -tvy -\- wz) = 0.
Pour qu'il contienne trois diamètres conjugués de l'ellipsoïde, il faut qu'on ait
(r + uxQ)a^ -f- (r -f- vyQ)b^ H- (r -f- wSq)c^ = ou
ua^XQ 4- vb^yQ -h toc% -j- r{a^ H- ô^ ) c^) — 0.
Le plan Q passe donc par le point qui a pour coordonnées
a^^o à^yo c^^o
as.+.ôa + c^' ai-^b^-^C''' a^ + ft^H-c^*
iA . Si d'un point on abaisse des perpendiculaires sur trois plans diamétraux conjugués quelconques d'un ellipsoïde, le plan mené par les pieds de ces perpendiculaires passe par un point fixe.
LE point; le plan et la droite 39
15 . On donne une surface du second ordre S, un 'point fixe A sur cette surface et une conique G située dans un plan P. Les trois droites qui joignent le point A aux sommets Ai, A2, As d'un triangle T situé dans le plan P rencontrent respectivement la surface en des points ai, 02, «3 autres que A. Démontrer que le plan axa^a^ passe par un point fixe M quan4 le triangle T se déplace dans le plan P en restant conjugué par rapport à la conique G.
16. Interpréter géométriquement le signe du premier membre de Véquation tangentielle d^un point.
Voir première partie (Géom, plane) y n® 20.
17. Note sur le complexe linéaire. — Le théorème établi au no 26 nous montre que toutes les droites du complexe qui passent par un point M sont situées dans un plan P qui contient le point M; d'après le théorème du n*» 27, les droites du complexe situées dans le plan P devant passer par un point de ce plan, passeront par le point M.
On dit que le point M est le pôle (ou le foyer) du plan P, et que le plan P est le plan polaire (ou le plan focal) du point M.
Si le point M a pour coordonnées x\ y\ z\ t\ Téquation du plan P est (26)
k[xt' — tx') -f- B(y«' - ty') + G(j«' — tz') + \S[yz' — zy') -+- Y.[zx' - xz')
-t- Y(xy' — yx') = ; les coordonnées de ce plan sont donc
M' = F2/'-Ey-HA^ N r' = — Fay'-j-DVH-Be', ) i^' = Ea:'-Dî/'-f-Gr, ' (*'
r' = — Aa?' — By— G^.
Si Ton se donne les coordonnées u\ t?', to', r' du plan P, Téquation de son pôle est (27)
A(t?io' — w?t?') -f- B(toM' — uw') -f- G(mi?' — vu') -h Dfwr' — ru')
H- E(i?r' — rv') 4- F(ior' — ru?') = ;
les coordonnées de ce point seront alors
a?' = Gi?' — Bw?' -+- \Sr',
y' = — Gm' + Aw?' H- Er',
y = Bu' — Ai?'-f-Fr', ^ ^^^
t' = —Dw' — Ëv'— Fit'.
40 COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS l'ESPACE
On peut d'ailleurs vérifier anaiytiquement que si AD + BE 4 CF n^est pas nul, les systèmes (i) et (2) sont équivalents.
Si le point M décrit une droite A, le plan polaire P tourne autour d'une droite Ai ; cette propriété résulte immédiatement des équations (i), mais on peut l'établir géométriquement de la façon suivante. ^
Prenons deux points M et M' sur uiie droite A; les plans polaires P et P' se coupent suivant une droite Ai. Prenons un point quelconque N sur Al ; les droites NM et NM' appartiennent au complexe; par suite, N est le pôle du pian NMM'. il en résulte que si Ton joint le point N à un point quelconque M'' de la droite A, la droite NM" appartient au complexe, donc le plan polaire de M'^ passe par le point N ; le point N étant choisi arbitrairement sur Ai, on voit que le plan polaire de M'' contient la droite Ai.
Mais ce raisonnement prouve de plus que les plans polaires des points de Ai tournent autour de A; on en conclut le théorème suivant :
Si un point décrit une droite A, son plan polaire décrit une droite Al, etf réciproquement, si un point décrit Ai, son plan polaire tourne autour de A.
Tes droites A et Ai sont appelées droites conjuguées par rapport au complexe ; elles jouissent de propriétés fort remarquables.
On démontre aisément, par exemple, que toute droite rencontrant deux droites conjuguées appartient au complexe ; que toute droite du complexe qui rencontre une droite rencontre sa conjuguée; que toute droite qui coïncide avec sa conjuguée appartient au complexe, etc.
Si un plan se déplace parallèlement à lui-même, le lieu de ses pôles est une droite.
En effet, on peut supposer que le plan passe par une droite fixe située à Tinfîni ; son pôle décrit la conjuguée de cette droite.
On appelle diamètre du complexe toute droite conjuguée d'une droite à rinfini; tous les diamètres sont parallèles, car ils passent par le pôle du plan de Tinfini et ce pôle est à Tinfini.
On appelle axe du complexe un diamètre perpendiculaire à la direction de ses plans conjugués, c'est-à-dire des plans dont il est le lieu des pôles.
Cherchons les équations de l'axe du complexe.
Considérons pour cela un plan qui se déplace parallèlement à lui-même,
ux-\-vy -\- wz-^\ z= ;
les coordonnées cartésiennes de son pôle se déduisent aisément des
LE POINT, LE PLAN ET LA DROITE 4i
formules (2) ; on a
Ct? — Bto H- DX
■ Dw -h Et? -h Fw? '
Bi* — Ar + FX
Dw H- El? 4- Ft/? '
On voit que si X varie, ce point décrit une droite dont les paramètres directeurs sont D, E, F.
On aura les équations de Taxe en remplaçant dans les équations (3) u, V, 10 respectivement par D, E, F ; on obtient
CE - BF + DX "^-^ D«-hE«-+-F» '
— CD + AF-hEX y — D* -h E* + F* '
BD-AE-hFX *- D«-+-E=^-hF* '
Supposons qu'on prenne cette droite pour axe 0^ ; on devra avoir
