Nature de la surface
2i'^ — 4r* — Sir* — tiir L^équation en S est
• ur -h i*r-|- cr — irr = 0.
En développant, on obtient
3S2-hl4S = 0; on voit ainsi que Téquation représente une parabole.
250 COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE
Si les axes de coordonnées sont rectangulaires, Téquation réduite
est
^r'2±:uV^=0.
3° Nous avons trouvé au numéro i37 l'équation tangentielle du cercle ; on peut récrire, en supposant
(Ma + 1?^ + toy + r)^ — R^[w^ + v^ + lo^ __ (lu + wv + nw)^] = 0, Pour former l'équation en S relative à ce cercle, on peut remarquer que A = 0.
On calcule aisément
A = R^P, A' = R*m2, A" = R^nS
d'où l'on conclut
On trouve de même
ad — c^-{~ a'd — c'2 + a"d — c''* = — 2R2,
de sorte que l'équation en S s'écrit
S3+2R2S2 + R*S = ou
S(S 4- RV = 0.
L'équation réduite est donc
4** Déterminer suivant les valeurs du paramètre X la nature des surfaces représentées par Véquation
Xw» -\-v^-\- 2w^ + 2(X + Drio + 4ior + (X — 2)r2 = 0. L'équation en S est
elle peut s'écrire
(X-S) ou
i— S Xh-1 X + 1 2 - s 2 2 X — 2
(S - X)[S2(X - 2) - S(3X — 10) — (X3 — oX -f- 6)] = 0. Remarquons que l'équation
X3 — 5X+6 = n'a qu'une racine réelle négative comprise entre — 3 et —2; nous la désignerons par X'.
Les valeurs remarquables de X, rangées par ordre de grandeur^ sont V, et 2.
L*équation en S admet d*abord la racine a, puis les racines de Téquation du deuxième degré
S^X — 2) - S(3X — 10) — fX» — 5X + 6j = 0.
Enfin le coefficient de r^ est égal à X — 2.
Si Ton a : L'équation représente :
— 00 < X < X' un hyperboloîde à deux nappes,
X =r X' une hyperbole,
X' < X < un hyperboloîde à une nappe^
X = une ellipse réelle,
< X < 2 un ellipsoïde réel,
X = 2 un paraboloïde elliptique,
2 < X < H- oo un hyperboloîde à deux nappes.
195. Théorème. — Le lieu des sommets des trièdres trirectangles circonscrits à une quadrique à centre est une sphère concentrique à la quadrique et dont le carré du rayon est égal à la somme des carrés des demi-axes .
Soit M(a, p, y) un point du lieu ; considérons le cùne circonscrit à la quadrique
/"(w, t?, w, r) = au* -h o'r- -h ••• =0,
et ayant pour sommet le point M, et écrivons que ce cône peut être inscrit dans un trièdre trirectangle.
Les équations tangentielles de ce cùne sont
f{u, r, w, r) = 0, wx -h rp -h a'Y -h /• = ;
l'équation de la conique de Tinfini de ce cône est
/*[m, V, Wy — {u% -4- u? H- w-{j\ = 0.
Pour que ce cône puisse être inscrit dans un trièdre trirectangle, il faut et il suffit que la somme des coefficients de 1/2, v^, w^ dans cette équation soit nulle ; on obtient
d(a2 + p2 ^ .^2j 2ca — 2c'p — 2c"y + a -f- a' -H a" = .
On reconnaît Téquation d'une sphère ayant pour centre le / c d c" \ point ( -7-ï -7-» "T" ) ' c'est-à-dire le centre de la quadrique.
252 COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS L'eSPACE
Le carré du rayon est égal
ad — c^-j^ a'd — c'^ -+- a!'d — d'-'
d' ou
Oi -+- §2 -i- 03
Si, Si, S3 désignant les racines de Téquation en S ; or cette quantité est égale à la somme des carrés des demi-longueurs d'axes.
Le raisonnement s'applique à une ellipse ou à une hyperbole.
Si rf = 0, c*est-à-dire si la surface est un paraboloïde, le lieu cherché se réduit à un plan perpendiculaire à Taxe,
2(ca: -H c'y + c"z) — (a -\- a' -h a") = 0.
11 est aisé d'établir que la distance de ce plan au sommet est égale à la demi-somme des paramètres des sections principales dans le cas du paraboloïde elliptique, et à la demi-différence des mêmes quantités dans le cas du paraboloïde hyperbolique ; d'une manière générale cette distance est égale à
ou
En efTet, le plan tangent au sommet s'obtient en écrivant
que le plan
cj? -H c'rj -h c"z -+- 1 =
est tangent, ce qui donne
^c2 + aV-^4-aV^H-9ôcV'4-2ôVc-+-2ôW-f-2X(c« + c'2-hc''2) = 0.
La distance de ces deux plans est alors
I 2X-(aH-a'-ha'') |
i>^c'^ -i- c'' -h c"' ou, en remplaçant 2X par sa valeur^
RÉDUCTIO.N DE l'ÉQLATIOX DU SECOND DEGRÉ 253
^(j^i ^ t:'i ^ ,fiy
Si Ton a une parabole, le lieu cherché est le plan perpendiculaire au plan de la courbe et passant par la direclrice.
196. Autre méthode de rédaction. — Invariants. — Ëtant donnée Téquation d'une quadrique rapportée à des axes rectangulaires,
f(u, t\ IV, /•) = 0,
nous allons établir qu'il existe certaines fonctions des coefficients qui conservent la même valeur quand on fait une transformation de coordonnées quelconques, de façon que les nouveaux axes soient rectangulaires comme les premiers. Ces fonctions s'appellent des invariants.
Désignons par Ox, Oj/, Oz les premiers axes, par 0'x\ 0'y\ O'z' les nouveaux axes, et soient (a, ^, 7), (a', p\ y), (a", p', y') les coordonnées des points directeurs de Oar, Oy, Oz par rapport à OV, Oy, OV, et xo, yoi ^o les coordonnées du point par rapport à ce même système ; nous aurons, en appliquant les formules (1) du n" 50 (dans lesquelles il faut permuter a, V, w, i\ et u\ v\ tc\ ?•'), et en y faisant X = i.
V = mV-h-u'^' + u/y', I
W = wVH-y'p^H-try, \
/• = u'xo H- v'yo -+■ w'zo -h /. ,
Comme les deux systèmes d'axes sont rectangulaires, a, p, Y sont les cosinus directeurs de Ox par rapport à OV, O'î/, OV ; de même pour a', p', y, ... ; il existe donc entre ces neuf cosinus douze relations bien connues.
On a d'abord
M* -+- «2 -+- ivi = ii'2 H- v'^ -\- m"' ;
en outre, le déterminant de la substitution
254 COORDONNEES TANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS L*ESPACB
est égal à
a-o ?yo Zo 1
c est-à-dire à dz I .
Cela posé, il est aisé d'établir le théorème qui suit :
Théorème. — Les racines de Véquation en S sont des invariants.
Remplaçons dans le premier membre de l'équation
/*(m, V, zt?, r) =
u, w, w^ r par leur valeur (1) ; f{uy Vy u\ r) devient une nouvelle forme quadratique,
^(w^ v\ w\ /) = aiw'2 4- a[v'^ H h dy\
On a donc, en tenant compte des formules de transformation,
et, comme on Ta vu plus haut,
W^ -+- î;2 4- IV^ = m'2 -h «'2 ^ 2//S.
On en déduit, quel que soit S,
/•(u, V, w, r)■-S(^^^^-y2-^-M;*)=^(u^ v\ u/, r')S{u'^-hv'^'^u/^).
Ainsi le second membre se déduit du premier par la transformation (1).
Si Ton désigne par F(S) et Fi(S) les discriminants des formes quadratiques qui figurent dans les deux membres, on aura,
quel que soit S,
Fi(S) = F(S),
car le carré du module de la transformation est égal à i. On voit ainsi que les premiers membres des équations en S
RÉDUCTION DE L EQUATION DU SECOND DkGRÉ 255
sont identiques, ce qui donne les relations
Ai H- Ai -h A; = A4- A' H- A.\
ûidi— cî-4-a;<ii—c;2-h aîdi — c? = ad— 0^4- a'd—c'* -4- a''rf—c''^
Les racines elles-mêmes de Téquation en S sont également des invariants.
197. Nous allons déduire de ce théorème les équations réduites des surfaces (et des courbes) de deuxième classe.
Premier cas. d^O,
L'équation réduite de la surface est
a,u''' H- a>'2 ^ aW^ + d,r^^ = 0,
en la supposant rapportée à ses plans principaux, car ces plans forment avec le plan de Tinfini un tétraèdre conjugué. L'équation en S relative à cette équation est
(a, — S){a\ — S)(aî — S)d, = ;
on en conclut que Oi, ai, al sont les racines de cette équation ; par conséquent ces nombres seront aussi les racines de l'équation en S relative à l'équation donnée
on aura de plus
di = d;
par suite l'équation réduite sera
S,u'2 + S2v'2 H- S,iv'^ -+- dr'^ = 0.
Le raisonnement s'applique au cas où l'équation représente une conique ; il suffit de supposer par exemple a] = 0.
Deuxième cas. d = 0.
Rapportons le paraboloïde à ses deux plans principaux et au plan tangent au sommet.
L'équation a la forme (169)
aiu'» H- a[w'^ -h 2ciwr = 0.
256 COORDONNÉES ÏANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE
On voit tout d'abord que a\ et ai sont les deux racines de Téquatipn en S ; en outre, en appliquant Tune des formules du numéro précédent, on a
ce qui donne l'équation réduite
La méthode s'applique à la parabole.
198. On établira, comme en géométrie plane, qu'il n'existe pas d'autres invariants que les quatre fonctions trouvées plus haut, à savoir :
1, A -H A' + A", ad — 6-2 ^ a!d — c'» -h c^'d — c"\ d.
