L'interprétation géométrique de ces invariants est fort
simple.
La condition
exprime que l'équation représente une conique.
La condition
exprime que l'équation représente un paraboloïde.
La condition
exprime que le cône asymptote de la surface contient une infinité de systèmes de trois génératrices rectangulaires. Enfin la condition
ad — c'- -\- a'd — d' + a"d — d"" =
exprime que le cône asymptote de la surface est inscrit dans une infinité de trièdres trirectangles.
Il suffit de remarquer que l'équation de l'intersection de la surface par le plan de l'infini est
^ad — c^)u^-^{a'd — d^'y -h {a"d — c"^)w^ -4- 2{bd — c'c")vw
-h 2(6'd— c"c)wu + 2{b"d — cc')uv = 0,
et que cette équation exprime que le plan
ux'{'vy + wz=0
est tangent au cône des directions asymptotiques ayant pour sommet Torigine.
EXERCICES ET NOTES
1. Le lieu des centres des quadriques tangentes à six plans et dont la somme des carrés des axes est constante est une sphère. Soit
au^ + a'i?2 -+■ a"w^ -\- 2bvw -+- 2b'wu -+- Wuv + 2xur -f- 2yvr
+ 2zwr -f- r^ =:
réquation d'une quadrique ayant pour centre le point (a?, y, z).
En écrivant que cette quadrique est tangente à six plans, on aura six équations de la forme
f[ui, Vi, Wi, n) = auf-ha'vf -\ 2-2tOtr, + r? = 0.
D'autre part, Téquation réduite de cette quadrique est Siw'2 ^ Sgv's + Sgi-o'^ + r'2 = 0, Si, S2, S3 désignant les racines de Téquation
S3 — S2(a + a' -f- a" ^x^-y^ — z^) + S(A + A' + A") — A = 0. La somme des carrés des demi-axes est
-(Si + Sa + Ss); on aura donc
en éliminant a, a\ a", b, b', b" entre cette équation et les six équations
/•(wi, t?ï, Wi, ri) = 0, on aura l'équation du lieu.
On obtient un déterminant dont les six premières lignes sont de la forme
uf 1?? wf ViWi wm UiVi 2xuiri-^2yv{ri-\-2zio{ri-{'rf et dont la septième est
En développant ce déterminant par rapport aux éléments de la dernière colonne, on voit que le lieu est une sphère.
258 COORDONNÉES TANGENT lELLES. — GÉOMÉTRIE DANS l' ESPACE
2. On donne deux droites fixes A et A' qui ne se rencontrent pas ; par ces deux droites on fait passer des surfaces (S) du second ordre^ pour lesquelles la somme des carrés des longueurs algébriques des axes ainsi que le produit de ces mêmes longueurs sont des quantités constantes et données,
1® Trouver le lieu des centres des surfaces (S).
2* Considérant une quelconque des surfeuses (S) et le centre I de cette surface, on mène par le point 1 une droite rencontrant les deux droites fixes en D e^ D' ; calculer la distance DD'.
3* Par les points D et D', on mène des plans respectivement perpendiculaires aux droites A et A' ; trouver le lieu des intersections de
ces plans.
{Agrégation, 1872.)
On pourra prendre pour équation générale de ces surfaces l'équation obtenue dans la note 12 du chapitre V.
3. Lieu des pôles d^un plan fixe P par rapport à un ellipsoïde de grandeur constante qui tourne autour de son centre et qui est assujetti en outre à toucher un plan donné Q.
Prenons pour origine le centre de Tellipsoïde, pour axe 0^^ une perpendiculaire au plan P, et pour axe des y une parallèle à l'intersection des plans P et Q ; les équations de ces plans seront alors
s-hh=:0, (P)
woa? -f- 100^ H- 1 = 0. {Q)
D'autre part, l'équation tangentielle de l'ellipsoïde sera au^ -h a'v^ -h a''w^ + 2bviD -h 2b'wu 4- 2b''uv + r^ = 0,
avec la condition
aul H- a''wl + 2&'k?oMo -h 1 = 0. (1)
Les coordonnées x, y, z du pôle du plan P sont données par les équations
Pour exprimer que la surface est de grandeur constante, on écrira que les racines de l'équation en S sont égales aux carrés des demilongueurs des axes changés de signe ; on aura donc
a 4- a' + a" = — Sa^, \
a'c^ — &s + oTa — b'^ -h aa' — b"^ = SaZps^ ( (3)
aa'a" -h 'Ibb'b" — ab^ — a'b'^ — a'b"^ = — a^py. )
On aura l'équation du lieu en éliminant a, a', a", 6, 6', b" entre les équations (1), (2) et (3).
4. Trouver Venvelappe des plans polaires d'un point fixe par rapport aux paràboloïdes de grandeur constante qui contiennent deu^ droites rectangulaires concourantes.
En prenant ces deux droites pour axes des x et des t/, Téquation du paraboloïde sera de la forme
2b''uv -h 2cur -+- 2c't?r -+- 2&'wr =. 0.
