Longueur des axes d*une section plane d'une quadrique
Soit la quadrique représentée par l'équation tangentielle
f{u, V, ic, r) = au^ -+- a'v^ + a''w^ -h 2bvw -+- 2b'wu -f- 2b''uv
-h 2cur H- 2c' vr 4- 2c''wr -+- dr^ = ;
260 COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS l'eSPAGE
l'intersection de cette quadrique et d'un plan P a pour équation
f{u, V, w, r)fo — [ufx + vf2 -h wf^ -f- r/-4)2 = 0, en posant, pour simplifier récriture,
/\) = /"(wo, t?o, 1^0, ro),
/3 = "g- /l^Qt
/ * — -2* /'•o- Cette équation peut s'écrire, en développant, w2(a/b - /•?) + i?2(a'/b - ri) -h i^2(«Y, ^|)^+ 2vw[hf^ - ^/-a)
+ 2«?t*(&'/*o — AA) H- 2t«t7(&Yo — M%) + 2Mr(c/-o — /^A) + 2t?r(cro — r2A) + 2tor(cYo - AA) + r\dfç, — fX) = 0. On aura les éléments de cette conique en formant l'équation en S «A-rJ-S h^fçs — M^ b'f^-M^ c/b — /-lA
y'U-nU a'fo-n-S bfo-f,fs c'/b-AA b'fo-r^fi hfçs-Mz aYo-n-S cYo-AA
cA-/;A c'/b-AA cYo-AA ^A-n Le coefficient de S^ est — (^A— /*!), c'est-à-dire
— [(a(i— c2)mJ + {a'd — c'2)tjj 4- {a''d — <f^)wl + 2(&rf — c'c'')voWo
-h 2{b'd — cfc)woUo -h 2(6''(Z — cc')t*ot?o], que nous désignons par
en remarquant que l'équation
g(uo, i?o, too) = exprime que le plan est tangent à la conique de l'infini de la quadrique donnée (133).
Le coefficient de S^ est
(«A - n)(dfo - fl) - (cfo - AA)' + {a'fo-nWo - fl)
- (C'A - AA)^ -+- («Yo - n){dfo - fî) - (cYo - AA)* ; on peut récrire fo[{ad - c2 -f- a'd - c'^ -f- a'd - c'^)fo - d[f\ -h fl-^fl)
— (a -h a' -f- ar)f\ -h 2c/'i/; -f- 2cy2A + ^<^hU]
RÉDUCTION DE l'ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ
ou, en développant^
- A)t?J+(A -f \')wl — 2Broi^o-2B'iooWo— 2B"Mot?o]
ou enfin
fo[{A -h A' -h A^Hul -hvl-h wl)
— (Aul -h A'tjJ H- A^wl -f- âBtJoioo -h 2B'u?oMo + 2B''uovo)],
Nous désignerons par ^(uo^ vo, wo) la quantité entre crochets en remarquant que la condition
tiooo -+- Voy + wqz =1
exprime que le plan
coupe le cône
Aa^ -h AY + A^s» + 2By2 -+- 2B'^a? + 2B''a?y =
suivant deux génératrices rectangulaires (Chapitre V, Ex. 5.) Le coefficient de — S est la somme de trois déterminants^ dont
Ce déterminant peut se décomposer en une somme de huit déterminants dont les colonnes s'obtiennent en prenant une file verticale de termes dans chaque colonne du déterminant considéré.
Le premier d'entre eux est Afl^ obtenu en prenant les trois premières files ; en prenant ensuite la première file dans deux colonnes et la seconde dans la colonne restante, on obtient les trois déterminants
l'un d'eux est
a'fo-n Vo-AA c'/b-ZiA
bfo - AA «Yo - ri cYo - AA
c'/b-AA cYo-AA dfo-fl
A «" cT
-flh
qui peuvent s'écrire, en remplaçant les dérivées partielles par leurs valeurs développées^ et décomposant chacun des trois déterminants en quatre nouveaux déterminants,
— foM— B^wo -f- At?o) — flfsi— B'wo -h Awo) — flM— Cwo -h Aro).
Enfin les autres déterminants sont nuls comme ayant deux colonnes proportionnelles.
11 en résulte que le déterminant (1) est égal à
nWfo - vof, - wof, - r-oA) + t*o(BY2 -h B'A + CA)]
ou, en remarquant que A = uofi -h t?oA + ^oA + ^oA»
worSlA A -h BY2 -h B'A + CA)
262 COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE
OU enfin
Ui
Les deux autres déterminants qui, avec le déterminant (1), forment le coefficient de —S ont de même pour valeurs
vln^ et wlfll;
il en résulte que le coefficient de — S est
A désignant comme toujours le discriminant de la fonction f{u, V, -M?, r).
Enfin le terme indépendant de Téquation en S est évidemment nul ; on voit donc que cette équation peut s*écrire
• S^giuo, vo, wo) — S-^fo^uo, vo, wo) -f- S/*jA(t*? -h «J + w?J) = 0. Premier cas. g(uo, vq, wq) ^f: 0.
Le plan donné n'est pas tangent à la conique de rinfini,la section est une ellipse ou une hyperbole.
L'équation en S a deux racines non nulles, Si et Sa ; le coefficient de r^ dans l'équation réduite de la conique est g(uof vo, wo) ; en remplaçant dans Téquation en S, S par — p^g{uo, î?o, «?o), on aura Téquation aux carrés des demi-longueurs des axes.
On obtient ainsi
On déduit de là sans peine la nature de la conique. Deuxième cas. g{uo, t?o, wo) = 0.
Le plan donné est tangent à la conique de Tinfini, la section est une parabole.
L'équation en S a une seule racine différente de zéro ; on calculera aisément (191) le paramètre de la parabole.
7. Démontrer qtie les demi-longueurs (Taxes de la section de l'ellipsoïde
a^ 0* c^ par le plan
uqx -h voy + wo2 = sont racines de ^équation
Il suffit d'appliquer la méthode indiquée au numéro précédent.
8. Un ellipsoïde étant donné, trouver le lieu des centres des sectiens planes dont Vaire est égale à une constante donnée,
(Concours général, i86î,)
9. Sections circulaires d'une quadrique. — Supposons que la quadrique soit déterminée par son équation tangentielle,
f(u, 17, w, r) = au^ + a'v^ -\ =0.
Pour qu'un plan
U{iX -h roy -h voçiZ + ro =:
coupe cette quadrique suivant un cercle, il faut que Téquation de la conique section,
4/'(w, t?, w, r)f{uoy t?o, i^o, ro) — (ufl^ -+- vf[.^ -\- wf'^^ -h rf^f = 0,
représente un cercle.
On pourrait obtenir cette condition en appliquant les formules du n° 138; il est plus simple d'écrire que Téquation en S de Texercice 6 a ses racines égales, c'est-à-dire qu'on a
Remplaçons <)^(uo, vo, 'wa) et ^(teo» vo* t<?o) par leurs valeurs, et en tenant compte des relations (116)
Aarf — c2) = A'A" — B2,
\[ard---(f^)z=i kM — W^ Mhd-'C'c'')=L B'B^-AB, \{h'd--d'c) — B^B — A'B', 1(6"^— ce') = BB'—A''B% la condition devient
— (AwJ 4- Mvl H- ATwl + 2B»oioo -h 2B'm?oWo + 2B"woi?o)]2
- 4(1.2 + 1,2 ^ u>l)[{k'M' - B2jt*2 + (A^A - B'8)r? + (AA' - h'^)wl -h 2(B'B''— AB)votoo+2(B"B— A'B')i^oMo+2(BB'— A^B^JMotJo] =0. (1 )
Cette condition exprime que le plan passe par l'un des points de rencontre du cercle de l'infini et de la conique de Tinfini de la quadrique donnée.
Pour le démontrer, considérons les deux cônes ayant pour sommet l'origine et s'appuyant sur ces deux coniques ; ils ont pour
264 COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE
équations
Ax^ + AY -\- A'z^ -h 2Byz -h '^B'zx -h 2W'xy = 0. L'équation ponctuelle générale des cônes passant par leur intersection est
(A + X)a?2 + (A' 4- X)y2 h- (A" -h X)^' + 2By^ + 2B'zx -h 2B"xy = 0, et les équations tangentielles d'un de ces cônes sont A-hX B" B' u
B" A' + X B V B' B A^+X to
L'équation (2) est l'équation tangentielle de la trace de ce cône sur le plan de rinfîni.
Elle est du deuxième degré en X ; cela montre qu'il existe deux coniques passant par les quatre points d'intersection du cercle de l'infini et de la conique de l'infini de la quadrique donnée et tangentes à un plan ; ces deux coniques se confondent si le plan passe par l'un des points d'intersection dont on vient de parler.
On en conclut que l'équation de ces quatre points s'obtiendra en écrivant que l'équation (2) a deux racines égales en X.
On obtient précisément la condition (1) où t«o, vo, wo sont remplacés respectivement par u, v, w (*).
Or les quatre points de rencontre sont deux à deux imaginaires conjugués; le plan donné est réel; il en résulte que si ce plan passe par l'un des quatre points, il passe par le point imaginaire conjugué.
Par suite, les plans qui coupent la quadrique suivant des cercles doivent passer par les sécantes communes au cercle de l'infini et à la conique de l'infini de la quadrique ; on les obtiendra en écrivant que l'équation
(A + 1)0^ + (A' + X)t/2 4- (A" -h X)^2 j. 2Byz + 2B'^a7 -f 2B''xy =
représente deux plans.
C'est le résultat bien connu que donne la géométrie ponctuelle.
10. Trouver le lieu des pôles des plans qui coupent un ellipsoïde suivant des ellipses dont la somme des carrés des axes est constante .
(*) Ce raisonnement est analogue au raisonnement déjà fait dans la Première Partie (Géom. plane), n» 256.
RÉDCcnox DE l'bocatiox dc sbwxi» degré 2<>5
ii. On poomu en se serrant de l'éqnation en S, déterminer la nature des quadriqaes considérées dans les exercices 1 et â du chapitre V, et comparer les résultats obtenus.
12. Étant donnés trais pl-t us rectcmiiuiaires^ une quadrique touche un de ces platis et cotrpe les de^ix a* f très suirant des cercies de centres variables^ mais de ratfons donnés. Trourer le lieu des centres de ces quadriques et la relatioii qui existe entre l^s longueurs de lettrs
axes.
