COORDONNÉES TËTRAÉDRIQUES ET ÉQUATIONS GÉNÉRALES DE QUADRIQUES
200. Considérons quatre plans formant un tétraèdre et ayant pour équations
X = ajar -f- biy
CiZ H- dit = 0, Y = a^x -+- b^y -h CjZ + rfj< = 0, Z = agor 4- bsy -f- c^z -h d^t = 0, T = a^x H- b^y -hCiZ-h d^t = 0,
avec la condition
Ui bi Ci d\
a^ bi C2 di
«3 ^3 Cs dz
Nous allons montrer que Téquation ponctuelle d'une surface quelconque peut s'exprimer en égalant à zéro une fonction homogène de X, Y, Z, T.
Désignons en effet par Ai, A2, . . . , Bj, . . . , D4 les coefficients des petites lettres correspondantes dans le développement du déterminant D ; des équations (1) on tire
COORDONNÉES TÉTRAÉDBIQUBS 267
Dx = A,X-4-A,Y-^A3Z-*-A4T, \ Dv =B,X-hBjY+B5Z-i-B4T, / Ds = CXH- CY-^ C3Z H- C4T, i ^^^
Dt= DiX-i-DîY-f-D^ + D*!.
Dès lors, si Téquation d^une surface est
en remplaçant dans cette équation x, y^ Zy t par leurs valeurs (2), réquation prend la forme
les fonctions /'(x, y, s, t) et o(X, Y,Z, T) ayant le même degré.
Réciproquement, toute équation homogène par rapport à X, Y, Z, T peut se remplacer par une équation de même degré et homogène par rapport à x, y, z, t ; il suffit de substituer à X, Y, Z, T leurs valeurs (1).
On en conclut que Téquation d'un plan pourra s'écrire
aX-hPY-hYZ-h8T = 0;
réquation d'une quadrique,
aX2 -h aT2 -h ^Z^ -h 2?YZ + 2?'ZX -h S^'XY
-+- 2yXT h- 2^/YT -h 2/ZT 4- 5T* = 0,
X, Y, Z, T désignant simplement des fonctions linéaires indépendantes de X, y, s, t.
201. Supposons que dans les relations (i) on remplace ^y y y 2> ^ P^^ l^s coordonnées homogènes d'un point M de l'espace ; X, Y, Z, T prennent alors des valeurs déterminées qu'on appelle les coordonnées tétraédriques du point M.
On voit ainsi que tout point de l'espace a des coordonnées tétraédriques définies à un facteur près.
Réciproquement, étant données les coordonnées tétraédriques d'un point, les formules (2) déterminent à un facteur près les coordonnées homogènes de ce point.
Il résulte de là qu'un point est bien défini par ses coordon-
268 COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE
nées tétraédriques, et les considérations précédentes montrent que toute relation entre les coordonnées tétraédriques d'un point est la condition pour que ce point soit sur une surface.
Le tétraèdre dont les faces sont représentées par les équations (i) est appelé le tétraèdre de référence.
On peut observer que les coordonnées tétraédriques d'un point sont proportionnelles aux produits par des nombres fixes des distances du point aux faces du tétraèdre de référence, ces distances étant affectées du signe h- si le point est par rapport à la face correspondante du même côté que le sommet opposé et du signe — dans le cas contraire.
