CE— BF = 0, CD — AF = 0, D = 0, E

et comme F doit être différent de zéro, on aura A = 0, B = ;

par suite l'équation du complexe aura la forme simple

Cy -h Fn = ou

k désignant une constante.

A Taide de cette équation on peut se rendre compte de la position des droites du complexe par rapport à Taxe.

Pour que la droite joignant deux points (a?, y, 2) et (x', y', 2') appartienne au complexe, on doit avoir

ocy' — yx' := k[z — z').

On voit immédiatement que si une droite appartient au complexe, elle ne cessera pas d'y appartenir si on augmente de la même quantité les z de tous ses points, c'est-à-dire si on la déplace parallèlement à elle-même dans un plan parallèle à Oz,

De même, si une droite appartient au complexe, il en sera de même de toutes les droites obtenues en faisant tourner cette droite autour de Oj.

42 COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE

11 suffira alors d'étudier la position des droites du complexe qui rencontrent une droite quelconque perpendiculaire à Taxe, droite que Ton peut prendre pour axe des x. Le plan polaire d'un point (a?', 0, 0) de cet axe a pour équation

yœ' -\-kz = ;

ce plan passe par Taxe des x et fait avec le plan xOy un angle cp déterminé par la relation

on en déduit immédiatement la variation de cp.

32. On sait que la condition pour qu'un plan ux -h vy -h wz + ri = soit tangent à une surface

est en général exprimée par une relation homogène entre les coordonnées w, v, w^ r du plan ; cette relation s'obtient en éliminant x, y^ z, t entre les équations

ux -h vy '-\-wz + rf == 0.

L'équation qui en résulte,

est ce qu'on appelle l'équation tangentielle de la surface.

Nous verrons plus loin qu'il existe des surfaces qui sont telles que la condition pour qu'un plan soit tangent à l'une d'elles s'exprime par deux relations entre les coordonnées du plan ; les surfaces coniques et cylindriques, par exemple, sont des cas particuliers de ces surfaces. 11 est clair en effet que pour qu'un plan soit tangent à un cône, il faut d'abord qu'il passe par le sommet du cône et en outre qu'il rencontre le cône suivant deux génératrices confondues.

Nous appellerons surfaces développahles les surfaces qui

44 COORDONNÉES TANGENT lELLES. — GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE

jouissent de cette propriété, c'est-à-dire qui ont deux équations tangenti elles.

33. On dit qu'un plan est tangent à une ligne, quand il passe par une tangente à cette ligne.

Il est aisé de voir que la condition pour qu'un plan soit tangent à une ligne s'exprime par une relation entre les coordonnées du plan.

Si l'on suppose en effet que les coordonnées a?, y, z d'un

point de la ligne soient fonctions d'une variable w, on devra

avoir

ux + vy ^wz~\-r = 0,

dx dy dz

atù aoi dm

et en éliminant a> entre ces deux équations, on aura la relation cherchée .

Si la ligne est définie par l'intersection de deux surfaces,