UX + VY H- WZ 4- RT

h\J = AiU H- BiV -+- dw -h Dir, \ h\ = AiU -f- B2r H- C2W -t- D2r, I

hW = A3U H- B3V 4- C3W + Dar,

hR = A4W H- B4V H- Cj^w -h D4r,

h étant un nombre arbitraire.

On en déduit

ku = ajU H- «îV -H a^W -4- a4R, ,

kv = bj] -f- 62V -f- 63W 4- 64R, f

A;i(; = CiU -+- C2V H- C3W -l-*C4R,

kr = diV -4- rfjV -h (/3W -f- rf4R.

Si Ton remplace dans les équations (3) u, v.w, r par les

coordonnées d'un plan, U, V, W, R prennent des valeurs dé-

COORDONNÉES TÉTRAÉDRIQliES 269

terminées à un facteur près qu'on appelle les coordonnées tétraédriques du plan.

Les formules (3) et (4) permettent de déduire les coordonnées tétraédriques des coordonnées homogènes, et inversement.

On voit ainsi que Téquation tangentielle d'une surface,

pourra se remplacer par une équation homogène et de même degré par rapport à U, V, W, R, et réciproquement. Par exemple, Téquation

aUH-pV-hYW-i-8R =

est Téquation tangentielle d'un point, ce point ayant pour coordonnées tétraédriques a, p, y, 8.

De même

aU2 4- a'V2 -h a^'W^ -+- 2pVW -h S^'WU -+- 2P"UV -4- 2yUR

+ 2y VR -h 2/WR + 8R2 =

est Téquation tangentielle d'une quadrique.

Remarquons en outre que les coordonnées tétraédriques d'un plan sont proportionnelles aux produits par des nombres fixes des distances des sommets du tétraèdre de référence à ce plan.

En résumé, les coordonnées tétraédriques d'un point sont des fonctions linéaires et homogènes des coordonnées homogènes de ce point, et toute équation homogène de degré m entre les coordonnées tétraédriques d'un point représente une surface de degré m.

De même, les coordonnées tétraédriques d'un plan sont des fonctions linéaires et homogènes des coordonnées homogènes de ce plan, et toute équation homogène de degré m entre les coordonnées tétraédriques d'un plan représente une surface (ou une courbe) de classe m.