Quadriques conjugaées par rapport à un tétraèdre
Prenons le tétraèdre pour tétraèdre de référence, et soit
/•(U, V, W, R) = aU2 -h a'V^ -f- a'W» + 2AVW h- • • • rfR« =
l'équation d'une quadrique.
Le pôle d'un plan (Uo, Vo, Wo, Ro) a pour équation
UoA-+- VoA + Wo/-^-hR<,A = 0; écrivons que le pôle du plan BCD,
i- A = al]-hb'W + b'W-hcR = 0,
est le point A, c'est-à-dire a pour équation
On en déduit
De même, en écrivant que le pôle du plan CAD est le point
B, . . . etc., on trouve
6 = 6' = 6" = c = c' = c" = 0, de telle sorte que l'équation générale cherchée est
aU^ 4- a' V2 -f- a^'W* + dR^ = 0, comme nous l'avons trouvé au n® 151.
207. Développable commune à deux quadriques. — Étant données les équations ponctuelles de deux quadriques en coordonnées homogènes ou tétraédriques,
f[x, y, z, t) = 0, fi{x, y, z, t) = 0,
on sait que ces deux quadriques se coupent en général suivant une courbe gauche du quatrième degré, qu'on appelle une quartique gauche, et que Téquation générale des quadriques qui passent par cette quartique est
L'ensemble de ces quadriques forme un faisceau ponctuel.
En transformant par le principe de dualité, on voit qu'étant données les équations tangentielles de deux quadriques,
f{u, V, w:r) = 0, fi[u, V, w, r) = 0, (1)
tous les plans tangents à ces surfaces enveloppent en général une surface développable de quatrième classe dont les deux équations qui précèdent sont les équations tangentielles ; cette développable est ce qu'on appelle la développable commune aux deux quadriques, et l'équation générale des quadriques inscrites dans cette développable est
L'ensemble de ces quadriques forme un faisceau tangentiel.
Il peut arriver que l'une des équations (i) représente une conique ; les plans tangents à la développable s'obtiendront en menant par chaque tangente de la conique des plans tangents à la quadrique. En joignant le point de contact de la tangente à ceux des plans tangents, on aura deux génératrices de la surface développable . On voit ainsi que par tout point de la conique passent deux nappes de la développable; c'est pour cette raison que l'on dit que la conique est une conique double de la développable.
De même, si les deux équations (1) représentent toutes deux des coniques, ce seront deux coniques doubles de la développable.
274 COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE
208 . Théorème. — La développable commune à deux quadriques contient en général quatre coniques doubles dont les plans sont , les faces d'un tétraèdre conjugué commun aux deux quadriques.
Pour que Téquation
f(u, V, w, r) + lfi{u, V, w, r) =
représente une conique, il faut qu'il existe un système de valeurs de «, u, w, r annulant les quatre dérivées partielles du premier membre de l'équation, c'est-à-dire vérifiant les équations
du
du
àf àv
dv
àf dw
dw
àf dr
or
On a quatre équations homogènes à quatre inconnues ; pour qu'elles soient vérifiées par des valeurs non toutes nulles des inconnues, il faut que le déterminant soit nul^ ce qui donne une équation du quatrième degré en >.
Il y aura donc quatre coniques doubles sur cette développable.
Je dis maintenant que les plans de deux de ces coniques sont conjugués par rapport à toutes les quadriques inscrites dans la développable.
Soient, en effet, \ et Xg deux racines de l'équation du quatrième degré, et (wj, v,, w^, r^), (wg, «2, w^a, ^2) les coordonnées des plans des coniques correspondantes ; on aura
(/Wj oUi du2 du2
dvi dvi dvi dv2
dWi * dWi * dw2 ^ dw2 '
"3 H h 3 — = ^1 -^ r Aj -3— = U.
Multiplions les quatre équations de gauche respectivement par U2, V21 W2j n, puis ajoutons ; multiplions de même les quatre équations de droite respectivement par Wj, Vi, Wi, r^, et ajoutons.
Posons, pour simplifier récriture,
df df df df
0U2 oVf ow% ôr^
àfi^ àfi^ df,^ df, 0U2 0V2 0W2 ôr^
on aura
H + XjK = 0,
H -+- X2K = 0, d'où Ton déduit
et l'on a, quel que soit X,
H4-XK = 0.
On en conclut que les deux plans sont conjugués par rapport à la quadrique
f[u, V, w, r) 4- X^(M, V, w, r) = 0, ce qui démontre le théorème.
209. Ce théorème est le corrélatif du suivant, que l'on établit en géométrie ponctuelle :
Par r intersection de deux quadriques on peut faire passer quatre cônes dont les sommets forment un tétraèdre conjugué commun par rapport à toutes les quadriques qui passent par la quartique .
Comme il n'existe qu'un seul tétraèdre conjugué commun par rapport à deux quadriques, on en conclut que les sommets des cônes passant par l'intersection de deux quadriques sont situés trois à trois dans les plans des coniques doubles de la
276 COORDONNÉES TANGENTIELLES.— GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE
développable commune ; les trois points situés dans le plan d'une conique sont les sommets d'un triangle conjugué par rapport à cette conique.
210. Sans vouloir discuter complètement ici la nature de la développable commune à deux quadriques, nous allons établir un résultat important, qui nous sera prochainement utile.
Si deitx quadriques sont tangentes en un points deicx des coniques doubles de la développable commune sont confondues suivant une conique située dans le plan tangent commun^ et les deux autres coniques doubles sont tangentes à ce plan tangent.
Considérons deux quadriques tangentes au plan des xy à Torigine et ayant pour équations
f{u,v^ w,r) = au^ -ha'v^ 4- 2b''uo -\- 2cur + 2c'vr + 2c"wr -h dr^ = 0,
fi{u,v,Wjr)= aiU^ -h (i[v^ + 2bluv-i-2ciur-\-2c\vr-h2c1wr-^dir^ = 0.
Écrivons que le discriminant de f{îi, v, w, r) + Vi^^» ^> ^ï ^) est nul ; on a
a H- Xai b" 4- À&'jJ
c-hXci
b"-^lb1 a'^la[
c' -+- lc[
c" -f- Ici
c + Xci c' -+- }x\
c'-hlc'i
d -f- Idi
ou
(c" -h Xc;'j2[(a -h lai){a' -hla\) — [b" + Xbi)^] = 0.
A la racine double ^ correspond une conique située dans
le plan des xy ; on voit de plus que toutes les quadriques du faisceau tangentiel touchent le plan des xy ; il en est de même des deux autres coniques doubles de ce faisceau.
Réciproquement, étant données une quadrique et une conique située dans un plan tangent, la développable commune admet la conique donnée comme conique double comptant deux fois, elle a en outre deux autres coniques doubles qui touchent le plan tangent ,
La démonstration est la même ; on considérera la quadrique tangente au plan des xy,
f(u,v,w,r) z=z au^ + a'v^ 4- 2b"uv + 2cur 4- 2cVr 4- 2c"icr 4- dr^ = 0^
et la conique
A(^> tJ, r) = aiu^ 4- a'iv^ 4- 2bluv 4- 2ciur 4- 2CiVr 4- dir^ = 0.
211. De même que huit points déterminent une quartique gauche, huit plans tangents déterminent une surface développable de quatrième classe.
On établit aisément les théorèmes qui suivent :
// existe une quadrique et une seule tangente à neuf plans qui ne sont pas tangents à une surface développable.
Toutes les quadriques qui ont sept plans tangents communs sont tangentes à un huitième plan,
212. Si Tune des deux quadriques (i) se réduit à un système de deux points^ la développable commune se compose de deux cônes ayant pour sommets ces deux points.
Supposons par exemple
f^[u, V, w, r) = PQ,
P et Q désignant des fonctions linéaires et homogènes ;
réquation
f{u, V, w, r)-f-XPQ = (2)
est réquation générale des quadriques inscrites dans les deux
cônes de sommets P et Q circonscrits à la quadrique S
représentée par l'équation
f[u^ Vf w^ r) = 0.
Il est aisé de voir que toutes ces quadriques sont tangentes à la quadrique S aux points de contact des plans tangents menés à cette quadrique par la droite PQ.
Soient, en effet, wi, Uj, Wi, rj les coordonnées d'un de ces plans tangents ; on a
f{u,, Vu wu n) = 0, Pi = 0, Qi = 0.
Le point de contact de ce plan et de la quadrique (2) a pour équation
<«i ^- <i + w^Ai + ^Ai -H MPQi -H PiQ) =
ou
uf'u, + vf[,^ + IV f[,^ -h rf'r^ = ,
qui représente le point de contact de ce plan et de la quadrique S.
278 COORDONNÉES TANGENTIELLES.—GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE
On en conclut que si la développable commune à deux quadriques se réduit à deux cônes, les deux quadriques sont bitangentes.
Réciproquement^ je dis que si deux quadriques sont bitangentes, elles sont inscrites dans deux cônes.
Prenons en effet pour tétraèdre de référence un tétraèdre
ayant deux de ses sommets A et B aux points de contact
des deux quadriques et les deux autres C et D sur la droite
intersection des deux plans tangents communs, et désignons
par
les équations des sommets A, B, C, D.
Soit
f{u, u, w, r) = aw^-j-aVn dr^ =
Téquation d'une quadrique.
Écrivons que le pôle du plan ACD (dont les coordonnées sont 0, 1, 0, 0) est le point A.
Le pôle du plan ACD a pour équation
--/•; = b'u-ha'v-hhw + cfr = 0;
on doit avoir
De même le pôle du plan BCD,
^ f^ = au -h h"v -h b'w H- cr = 0, doit être le point B, donc
a = ^' = c = 0, Ô" ;zf: 0.
L'équation générale des quadriques tangentes en A et B aux plans ACD et BCD est donc, en faisant b" =i 1,
a'w^ -+- 2uu 4- "Ic'wr + rfr^ — 0.
Considérons deux quadriques tangentes en A et B à ces deux plans ; leurs équations seront
a"w;2 -h 2wi? -4- "^d'wr -h dr^ = 0, <t^2 | 2uv -+- ^c[wr 4- diV^ — ;
en retranchant ces deux équations, on a
(a" — aïX ^ 2(c" — c\)ivr h- (rf — rf,)r« = 0,
équation qui représente deux points situés sur CD, car le premier membre est décomposable en un produit de deux facteurs de la forme ^w h- ^r.
Il en résulte que la développable commune se réduit à deux cônes ayant pour sommets ces deux points.
On en conclut aussi qu'étant donnée une quadrique
réquation générale des quadriques bitangentes à cette quadrique est
f[u, V, u\ r)-hXp2 4-2(xPQ-hvQ2 = 0,
P et Q étant des fonctions linéaires qui, égalées à zéro, représentent deux points situés sur la droite intersection des plans tangents communs, et X, ji, v désignant des paramètres arbitraires.
213. On sait que la condition nécessaire et suffisante pour que deux quadriques soient bitangentes est qu'elles se coupent suivant deux courbes planes ; il en résulte que si deux quadriques se coupent suivant deux courbes planes, leur développable se réduit à deux cônes, et inversement.
214. Quand la développable commune se réduit à deux cônes, ces deux cônes sont bitangents, ils se coupent suivant deux courbes planes qui sont deux coniques doubles de la développable ; les deux autres sont confondues suivant la conique singulière formée par les sommets des deux cônes.
Considérons en effet deux quadriques tangentes en A et B aux faces ACD et BCD du tétraèdre de référence^
aW + Wuv -h 1c"wr -+- dr^ = 0,
280 COORDONNÉES TAN6ENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE
l'équation en X est
a" -t- XaJ c"-f-Xcî
c"-\'lc'[
ou
(b" -H UlYlia" -h la'l){d + ld,)^ {c" h- Ic^f] = 0.
Elle admet une racine double, à laquelle correspond une conique qui se réduit aux sommets des deux cônes.
