AB H- PQ
A et B désignant les premiers membres des équations des deux points de contact et P, Q désignant les premiers membres des équations de deux points quelconques situés sur rintersection des deux plans tangents.
On voit de plus que Téquation est vérifiée par toutes les solutions des équations
on en conclut que tous les plans passant par la droite AP sont tangents à la surface, et cela ne peut avoir lieu que si la droite AP est située sur la surface .
L'équation
AB-f-PQ =0
est donc Téquation d*une surface passant par les quatre droites AP, PB, BQ, QA.
Ainsi, étant donnés sur Ox un point A, d'abscisse «, sur 0^^ un point B de cote b, l'équation générale des quadriques tangentes en A au plan des ary, en B au plan des y s est
{ua -f- r)(wb -hr)-\- av^ -4- ^vr -+- yr* = 0,
a, p, Y désignant des paramètres variables. Si le trinôme
at?* -4- pvr -f- Y^*
a ses racines réelles, égalé à zéro il représente deux points réels C et D situés sur Oy ; on en conclut que la surface est réglée et circonscrite au quadrilatère gauche AGBD.
Si au contraire ce trinôme a ses racines imaginaires, la surface n'est pas réglée.
217. On peut déduire de là l'équation générale des paraboloïdes tangents à un plan P en un point donné A et dont l'axe a une direction donnée.
11 suffit d'écrire l'équation générale des quadriques tangentes au plan P au point A et au plan de l'infini, le point de contact étant dans la direction de Taxe.
Soient a^o» 2/o» ^o ^^s coordonnées du point A,
Uq{x — Xq) + Vo(l/ — î/o) -f- iCo( J — Zq) =
l'équation du plan P et a, (3, y les paramètres directeurs de l'axe.
L'équation du point de contact avec le plan de l'infini est au H-^tî-t-yio =. 0.
Il faut maintenant l'équation de l'ensemble de deux points à l'infîni dans le plan P.
Soient l, m, n, les coordonnées d'un point à l'infini dans le
282 COORDONNÉES TANGENTIELLïlS.— GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE
plan P ; on aura
UqI -h t'oWi -f- WQfi =r OU, si Ton suppose ioq 7^ 0,
Wq
Téquation de ce point sera
UqI -+- V(.m
ou
1[uwq — wUq) -f- m[vwQ — ici?o) = 0.
L'équation générale des paraboloïdes est donc
{uocç^ H- i?yo -h y^z^ -f- r)[au -\-^v -\- yto) 4- A(miOo — wUq)^
-h B(î?w?o — ict?o)^ H- C(mico — ioMo)(t?iOo — w?i?o) = 0.
Si le plan P est perpendiculaire à la direction de Taxe, c'est-àdire si
Uq t?y M?0
le point A est le sommet de la courbe.
