Revenons à Téquation générale

f[u, V, w, r)H-XPQ = 0. (2)

Si l'équation

représente une conique C, Téquation (2) est Téquation générale des quadriques inscrites dans les deux cônes ayant pour sommets les points P et Q et pour directrice la conique C. Toutes ces quadriques sont bitangentes en deux points de la conique C ; ce sont les deux points de contact des tangentes menées à cette conique par le point où la droite PQ rencontre le plan de la courbe.

219. Enfin si f(u, r, w, r) est décomposable en un produit de deux facteurs linéaires MN, l'équation

MN-hXPQ =

est l'équation générale des quadriques circonscrites au quadrilatère gauche MPNQ; la démonstration résulte de ce que nous avons dit au n® 216, mais on peut le voir encore de la manière suivante :

Cherchons Téquation générale des quadriques passant par les arêtes AB, BC, CD, DA du tétraèdre de référence.

Il faut écrire que Téquation est vérifiée pour les coordonnées de tous les plans passant par AB, c'est-à-dire pour u = 0, V = 0,

L'équation doit de même être vérifiée pour r = 0, iv = 0: puis pour ^^; = 0, r = ; et enfin pour r = 0, u = 0,

En partant de l'équation générale

on obtient aisément l'équation

2b'wu 4- ^c'vr = ;

elle est de la forme

AC-f-XBD = 0,

A = 0, G = 0, B = 0, D = désignant les équations des sommets A, C, B, D.

220. Théorème. — Le lieu des centres des quadriques passant par

les côtés d'un quadrilatère gauche est la droite qui joint les milieux

des diagonales.

Soit, en effet,

MN-f-ÀPQ =

l'équation générale des quadriques contenant les droites MP, PN, NQ, QM, et posons

M = miu -\- m^v -h m^w H- r,

N = nxu 4- niv -f- niW -h r,

P = p^u -h pat? -h jpaw? -h r,

Q = çiw + q^v -h qzw + r.

Le centre de la quadrique a pour coordonnées