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ce qui montre que ce point est sur la droite qui joint le milieu de MN au milieu de PQ.
221. Surlaces circonscrites. — Supposons que dans Téquation (2) du numéro 218 les deux points P et Q soient confondus ; Téquation devient
[fu, t?, w;, r) -h XP2 = 0. (3)
Elle représente des surfaces inscrites dans le cône C circonscrit à la surface S et de sommet P ; de plus, ces surfaces touchent la surface S en tous les points de la courbe de contact de cette surface et du cône G.
En effet, considérons un plan tangent (mi, Uj, w^ n) au cône C ; on aura
f(ui, vi, wu n) = 0, P, = 0.
Ce plan est tangent à toutes les surfaces (3), le point de contact a pour équation
ou
ce qui donne le point de contact avec la surface S.
Donc toutes les surfaces représentées par Téquation (3) sont circonscrites à la surface S en tous les points de la section par le plan polaire du point P.
Réciproquement, nous allons démontrer que toute surface jouissant de cette propriété est représentée par l'équation (3), où Ton donne à X une valeur convenable.
Menons à la quadrique S trois plans tangents par le point P; ces trois plans coupent le plan polaire du point P suivant un triangle ABC. Prenons le tétraèdre PABC comme tétraèdre de référence, et cherchons l'équation générale des quadriques tangentes aux plans PBC, PCA, PAB, les points de contact étant respectivement situés sur BC, CA, AB.
Le pôle du plan PBC (x = 0) a pour équation
—^f'^z=zau-{- b"v -\- b'tv H- cr =: ;
pour que celte équation représente un point de BC, on doit avoir
et l'équation du point de contact est b'v-hb'w = 0.
De même, pour que la quadrique soit tangente au plan PCA, le point de contact étant sur CA, il faut qu'on ait
Téquation du point de contact étant
/A/-f- bw = 0.
Enfin pour que la quadrique soit tangente au plan PAB, le point de contact étant sur AB, on doit avoir
l'équation du point de contact étant
b'u-\-bv = 0.
L'équation générale des quadriques cherchées sera
f{u, V, u\ r) = ^bv-h^b'wu-h^b^uvw-hdr^ = 0.
L'équation de la quadrique S sera de cette forme ; une autre quadrique tangente à S en tous les points de la section par le plan ABC sera en particulier tangente à S aux points de contact des plans PBC, PCA, PAB ; elle aura une équation de la même forme, les coefficients b, b\ b" étant les mêmes puisque les points de contact sont les mêmes,
/*,(w, u, w, r) ^ ^bvw H- ^b'wu + Wuv H- d^r'^ = ;
on tire de là
/*(!/, u, u\ r} — fi{u, V, w, r) = [d — d,y ou
ce qui démontre notre théorème.
On peut remarquer que la démonstration qu'on vient de faire établit le théorème suivant :
Si deux quadriques sont tangentes en trois points, elles sont circonscrites le long d'une même conique.
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