Si l'on suppose maintenant que l'équation
représente une conique C, l'équation
f^u, V, w, r) -h Xp2 =
sera l'équation générale des quadriques contenant cette conique C et tangentes en tous les points de cette conique au cône de sommet P qui s'appuie sur la conique.
En laissant indéterminés les coefficients de P, on aura r équation générale des quadriques contenant la conique C.
L^équation tangeotielie de la sphère étant
R» (m* -h »* -h ic*) — (w« H- r^S -h ur; -h r)* = 0, on voit que la sphère contient le cercle de riofini, et que les plans tangents à la sphère en tons les points de ce cercle passent par le centre.
Exemple. — Soit Tellipse
ai„i 4 frîp* — r* = 0,
située dans le plan des xy; Téquation générale des quadriques contenant cette ellipse est
à^u^ 4- 6V — r* + X aw + ^r + yic 4- or)* = 0,
2, ^, Y' ^ désignant les coordonnées homogènes du pôle du plan des xy.
225. Exercice. — Lieu des sommets d^un paraboloide elliptique de grandeur constante passant par une parabole .
Prenons des axes rectangulaires. Taxe Ox et Taxe Oy étant respectivement Taxe et la tangente au sommet de la parabole donnée. L*équation de cette parabole sera
pv^ — 2ur = 0,
et l'équation générale des paraboloïdes contenant cette parabole est
>^'pt?» — 2ur) -h (au + ^t? + yto;* = 0.
Pour écrire qu'il est de grandeur constante, je forme l'équation en S,
[2 — 8 afi av —À
ay [iv Y» -S
qui peut s'écrire
S» — Sffiî -I- Y^ -^ Xp) -+- X^^;^ = 0.
Gomme la surface doit être un paraboloide elliptique, cette équation a ses racines de même signe, donc X doit être positif, on peut supposer X = 1.
L'équation réduite de la surface sera
S2r'* 4- Sjio'» ±: 2u'r' = 0,
288 COORDONNÉES TANGENTIELLES.— GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE
de telle sorte que S2 et S3 sont les paramètres des sections principales ; désignons par a et 6 ces paramètres ; on aura
p*r« = ah,
d'où Ton tire
fi, {a—p){f>—p) { ^ -- p • )
Nous aurons le sommet en prenant le point de contact du plan tangent perpendiculaire à Taxe. L'axe est parallèle à Ox, un plan perpendiculaire, x-\-h = 0,
sera tangent si l'on a /* = — .
Les coordonnées du point de contact de ce plan sont
a; = — — , y = —a'fi, « = — ay. (2>
En éliminant a, ^, y entre (1) et (2), on aura les équations du lieu.
Les équations (2) donnent
y2 -4 2^2^; = 0, 2^ H- 2y^x = 0, et en remplaçant p^ et y* par leurs valeurs (1)
---f-?^.Jo; P ces deux équations représentent deux cylindres paraboliques qui se coupent suivant deux paraboles situées dans des plans passant par Ox, Ces deux paraboles constituent le lieu demandé.
226. En s'appuyant sur caque nous avons dit au numéro 224, on peut obtenir aisément Téquation de la conique, section d'une quadrique
par un plan Po(wo, v^, u)o, ^o).
L'équation sera de la forme
f{u, V, w, r) + X(w/ï;^ + vfi^ 4- îvfL^ + rf;^Y = 0,
et on déterminera X en écrivant que Téquation est vérifiée par
les coordonnées du plan Po ; on trouve
4/*(wo, Vo, Wo, ro) et Téquation cherchée est
