Examinons maintenant le cas où les deux équations

/•(m, V, w, r) = 0, fi{u, Vj 10, r) =

représentent deux coniques C et Ci situées dans le même plan, il est aisé de voir que l'équation

f{u, i?, w, r)-h'kfi{u, V, w, r) =

est réquation générale des coniques tangentes aux tangentes communes à C et à Cl.

Prenons en effet pour plan des xy le plan des deux coniques ; en faisant la transformation de coordonnées, f{u, v, w, r) devient

290 COORDONNÉES TAN6ENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS L'eSPACE

<p(t*', t>', r'), fi{u, V, to, r) devient <pi(u', i?', r'), et l'équation précédente s'écrit

?(w', tj', r')-hXçi(w', v', r') = 0, ce qui démontre le théorème.

De même, si P = 0, Q = sont les équations' de deux points situés dans le plan de la conique G,

/•(u, V, w, r) + XPQ =

est réquation générale des coniques tangentes aux tangentes issues des points P et Q à la conique C ;

f{Uy v, to, r) 4- XP» =

est réquation générale des coniques bitangentes à la conique G aux points de contact des tangentes menées par le point P, . . . etc . [Voir Première Partie (Géom. plane), Ghapitre XL] Si les quatre points

P = 0, Q = 0, R = 0, S = sont dans un même plan^ l'équation

PQ-+-XRS = est l'équation générale des coniques tangentes aux droites PR, RQ^ QS, SP ; enfin

PQ-f.XR2 =

est l'équation générale des coniques tangentes en P et Q aux droites PR et QR.

229. Quadriques tangentes aux faces d'an tétraèdre. — Si l'on prend le tétraèdre pour tétraèdre de référence, en écrivant que l'équation générale du deuxième degré en w, v, w, r est vérifiée par les coordonnées des faces, on voit que les coefficients de u^, v', w^, r^ sont nuls, et l'équation tangentielle générale des quadriques tangentes aux quatre faces est

^bvw -h tb'wu -h 'lb''uv -h 2cur -h 2c' vr -h 2c''wr = 0. L'équation ponctuelle est

X y js t elle peut s'écrire, développée,

b&c"x^ 4- b'cf'cy^ H- b^^cc'z^ + bb'b"t^ — {b'c' -h b'c" — bc){cyz 4- bxt) — (6V -hbc — b'c'){c'zx -h b'yt) — [bc H- b'c' — b''cr){<fxy -f- b'zt) = 0.

ÉQUATIONS GÉNÉRALES DE QUADRIQUES 29 i