Quadriques tangentes aux six arêtes d'un tétraèdre

Prenons le tétraèdre pour tétraèdre de référence, et désignons par

les équations des sommets Â, B, G, D de ce tétraèdre.

Soit

f\u, r, w, r) = au^ 4- a'v^ 4- . . . dr* =

l'équation d'une quadrique .

Pour qu'elle soit tangente au côté CD par exemple, il faut que les deux plans tangents qu'on peut mener à la quadrique par cette droite soient confondus.

Un plan passant par CD a pour équation a?4-Xy = ; il sera tangent à la quadrique si Ton a

a4-a'X*4-2&*X = 0; et la droite CD sera tangente si les deux racines de cette équation sont égales, c'est-à-dire si Ton a

au' — b'^ = 0.

On aura de même, en écrivant que les cinq autres arêtes sont tangentes.

ad — c^ = 0,

Ces équations montrent que les coefficients a, a', a", d doivent

être de même signe ; on peut les supposer positifs ; nous poserons

donc

a = l^, a' = mS oT = n\ d = p» ;

on aura alors

& = :+: mti, 6' = zb ni, f •=i± Im,

c-=±lpj c' = it mp, cf zizzhnp^

292 COORDONNÉES TANGENTIELLES. —GÉOMÉTRIE DANS l'bSPACE

et réquation générale devient

Ihc^ + mH^ -f- n^w^ -{-p^r^ H- 2ejmni?to -\- ^z^nlwu -h ^z^lniuv

-h %z^lpur H- ^z^mpvr + 2z%npwr = les quantités bj désignant ±: 1 .

On peut écrire cette équation

{lu -f- tztnv H- t^nw -\- Sipr)* 4- 2m«vio(ei — 6253) -h 2mptjr(s6 — £354)

-f- 2nj>ior(e6 — saSi] = .

Pour que cette équation représente une véritable quadrique, il faut que le premier membre soit réductible à une somme de quatre carrés ; et pour cela il faut que les différences Ej — £253, £5 — £354, Se — £224 soient toutes différentes de zéro ; on devra donc avoir

On peut donner tout d'abord la valeur — 1 à tous les £,. Supposons maintenant que toutes ces quantités ne soient pas négatives, par exemple ^

on aura

On pourra prendre alors soit

64 = £5 = 1 , Es = 1 >

soit

Dans le premier cas on aura Téquation l^u^ 4- mH'^ 4- w*io2 4-2)2^2 | 2mnvw 4- 2nlwu — 2lmuv