lpur 4- 2mpvr — 2npwr = ; (i

dans le deuxième cas, ;2^2 | ^2^2 | ^2|^2 ^2)2^2 ^ 2mnvw -{- 2nlvou — tlmuv

— 2lpur — 2mpvr 4- 2npwr = 0. (2) Dans réquation (1) remplaçons respectivement n et p par — n et — p; cela revient à supposer tous les e, négatifs.

Dans réquation (2) remplaçons n par — n ; cela revient encore à supposer tous les Et négatifs; il en résulte que l'équation génér^ale cherchée est f[u, V, ic, r) = Pu^ 4- m^v^ 4- n^w^ 4- p^r^ — 2mnvto — 2nlwu

— 2lmuv — 2lpur — 2mpvr — 2npior := 0, l^ m, n^ p étant des nombres positifs ou négatifs.

ÉQUATIONS GÉNÉRALES DE QUADRIQUES â93

232. Les coordonnées du plan tangent passant par Taréte CD vérifient les équations

«3 = 0, r = 0, lu — mv =z ;

réquation de ce plan est alors

ê m son point de contact aara pour équation

nw -\-pr = 0;

les coordonnées du point de contact sont donc

233. Théorème 1. — Les plans passant par chaque arête et par le point de contact de l'arête opposée passent par un même point.

Le plan passant par ÂB et le point de contact de Tarête CD a pour équation

n i> "" ' les cinq plans analogues ont pour équations

ils passent par le point que définissent les équations

Théorème 11. — Les couples de plans tangents passant par detuc arêtes opposées se coupent suivant trois droites situées dans un même plan.

Les plans tangents menés par ÂB et CD ont pour équations z t X y

leur intersection est dans le plan

l m n p qui contient visiblement les droites analogues.

11 est aisé de voir que ce plan est le plan polaire du point trouvé dans le théorème précédent.

294 COORDONNÉES TAN6ENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE

Théorème III. — Les six points de contact avec les arêtes sont conjugués harmoniques par rapport aux extrémités de Varète correspondante de Vintersection de cette arête avec un même plan .

En effet, le point de contact de Taréte CD a pour équation nw -hpr = ;

le conjugué harmonique de ce point par rapport à C et D a pour équation

nvD — pr = 0.

Ce point est à Tintersection de Taréte CD et du plan

c^st le plan qui renferme les intersections des plans tangents passant par deux arêtes opposées.

Si Ton suppose ce plan à Tinfîni, on voit qu'il existe une quadrique tangente aux six arêtes d'un tétraèdre en leurs milieux ; de plus, les droites joignant les milieux des arêtes opposées sont des diamètres, puisque les plans tangents en ces points sont parallèles. Il en résulte que le centre de la surface est au centre de gravité du tétraèdre

234. L'équation ponctuelle de la quadrique que nous venons d'étudier est

û^ yî^ £2 ^2 2yz

l* wi* n* p* mn

%zx 2xy

Ip mp np *

ni Im

on peut l'obtenir en appliquant la méthode générale, ou en cherchant l'équation ponctuelle générale des quadriques tangentes aux faces d'un tétraèdre, puis en écrivant que le point de contact sur CD a pour équation

nw-\-pr =: 0, ert ainsi de suite.

EXERCICES ET NOTES

1. On donne une ellipse et une hyperbole situées respectivement dans deux plans rectangulaires 1^ et Q et pour chacune desquelles la droite d'intersection des deux plans P et Q est un axe de symétrie,

lo On considère tous les plans R tangents à la fois à V ellipse et à

Vhyperbole et l'on propose de démontrer qu'il existe une infinité de surfaces du second ordre S tangentes à la fois à tous les plans R.

20 Trouver le lieu des centres des surfaces S et déterminer la nature de chacune de ces surfaces y suivant les positions occupées par son centre,

30 Trouver les conditions nécessaires et suffisantes pour qu^ les surfaces S soient homo focales ,

[Agrégation, 1884.)

io Soient — !-+-t5-1 = 0, ^ = 0,

^--^+^-1=0, y = (AB<0>

les équations ponctuelles de l'ellipse et de Thyperbole. Les équations tangentielles de ces courbes sont

a2w« + 6V— r» = 0, Aw« + Bw?« — {uh -+- r)« = ;

par suite Téquation tangentielle générale des quadriques tangentes aux plans tangents communs à ces deux courbes est

Aw2 4- Bt/?2 (^/j 4. rf -h X(a«M2 4- bH'^ — r^) = . %^ Les coordonnées du centre de cette quadrique sont X = j-^, !/ = 0, 3: = ;

il en résulte que le lieu du centre est Taxe des a?, c'est-à-dire l'intersection des plans P et Q .

De la première équation on tire

et en remplaçant dans Téquation générale des quadriques, cette équation devient

[(a2 -h A2 — A)x — a^h]u^ + b^(x — h)v^ — Bxw^ -h 2^wr 4- Ar« = 0.

Il nous faut étudier la nature de cette quadrique suivant les valeurs de X,

Nous appliquerons la méthode exposée au chapitre V. Remarquons d'abord que si x est infini, l'équation se réduit à (aS 4- ^* — A)t«2 + b^v^ — Bto« 4- 2hur = ou

u[(a^ -hh^- A)u -\-2hr]-h b^v* — Bw^ =

Cette équation représente un paraboloïde elliptique si B est négatif, c'est-à-dire si Oa?est l'axe réel de l'hyperbole, un paraboloïde hyperbolique si B est positif, c'est-à-dire si Ox est l'axe imaginaire de rhyperbole .

296 COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS l'ESPACE

Dans le cas où x est fini, Téquation générale peut s'écrire

-h h\x — ^)t;2 — Ba?ic2 -: 0.

Gomme on peut toujours supposer A > 0, il suffira d'étudier les signes des coefficients de te^, t?^, w^^ quand on fera varier x. Pour que le trinôme

/ia?2 — (a2-h/i* — A)-ha2A

ait ses racines réelles, il faut que A ne soit pas compris entre (a — />)* et (a H- /è)^. Les racines x' et a-" seront de même signe ; elles seront positives si A < (a — ^)2, et négatives si A >(a -+- A)'-.

On leur comparera aisément et K

Nous aurons alors, suivant les cas, Tordre de grandeur suivant :

[a^hf < A <ra-f-/i)2 oo

A<0 —00 {S x' h oT H-oc

Nous nous bornerons au premier cas, et nous allons supposer que X varie dans les différents intervalles ; on obtient les résultats suivants, en mettant en évidence les signes des carrés du premier membre de Téquation :

— 00 Paraboloïde elliptique

H Ellipsoïde réel

- + Ellipse réeUe