Paraboloïde elliptique
Nous laissons au lecteur le soin d'achever ; il sera utile d'examiner aussi les cas où Ton a A = (a + A)^ et A = (a — hf^ ce qui ne présentera aucune difficulté.
3®. La réponse à la question sera immédiate quand on aura lu le chapitre suivant ; il faut que Pellipse passe par les foyers de l'hyperbole et que l'hyperbole passe par les foyers de l'ellipse.
2. On donne un cône du second degré G et deux quadriques Â, A' inscrites dans ce cône ; on considère une quadrique variable S inscrite dans le même cône et touchant les quadriques données A et A' en des points variables a et a'.
10 Démontrer que la droite olol' passe par un point fixe.
20 Trouver le lieu de la droite d'intersection des plans tangents à la surface S aux points a et a'.
30 Démontrer que le lieu du pôle d^un plan fixe P par rapport à la surface S se compose de deux qttadriques bitangentes,
40 Trouver le lieu de la droite qui passe par les points de contact de ces deux quadriques^ lorsque le plan P se déplace^ en restant parallèle à un plan tangent au cône C.
[Agrégation, 1889.)
Le point fixe par lequel passe la droite aa' est le sommet du deuxième cône circonscrit aux quadriques A et A', et le lieu de la droite aa' se compose des plans des courbes planes communes à A et à A' . La démonstration ne présente aucune difficulté.
Enfin le lieu demandé dans la quatrième partie est un paraboloïde hyperbolique ayant le plan P pour plan directeur.
3. On donne deux quadriqvss inscrites dans un même cône. Par le sommet on mène une sécante quelconque et aux points où cette sécante rencontre les deux surfaces on mène les plans tangents ; on demande le lieu géométrique des droites suivant lesquelles les plans tangents à la première quadrique coupent les plans tangents à la seconde,
A, Lieu des centres des quadriques circonscrites à une quadrique donnée et touchant un plan fixe en un point donné.
Prenons le plan tangent pour plan des xy, le point de contact po«r origine, et désignons par
f{u, Vj w, r) = au^ + a'v^ -+-... dr^ =
Téquation tangentielle de la quadrique donnée. L'équation générale des quadriques variables sera
X/'(m, t?, w, r) -4- (UoL + i?p -h toY H- r)^ = 0,
avec les conditions
Xa''H-Y2 = 0,
x& -f- Py = 0,
Ib' H- Y» = 0, exprimant que la surface touche le plan des xy k Torigine.
298 COORDONNÉES TANGENTIELLES.— GÉOMÉTRIE DANS l'ESPACE
Les coordonnées du centre sont
Xc-hor Xc'-f-fi XC-I-Y.
^-XrfTî' î^-n+l' ^=XdTî'
en y remplaçant a, p, X en fonction de y» o" voit que ce point décrit une conique.
5 . Lieu des centres des quadriques contenant une conique donnée et touchant un plan fixe en un point donné. Etant choisi un point sur le lieu trouvé, déterminer la nature de laquadrique dont ce point est le centre,.
6 . Enveloppe des plans principaux des paraboloïdes circonscrits à une quadrique (ou contenant une conique) et touchant un plan fixe.
7 . Etant donnés un tétraèdre et une quadrique, le pôle d^une face constitue avec les arêtes de cette face trois plans ; les douze plans relatifs aux quatre faces du tétraèdre sont tangents à une quadrique.
Prenons le tétraèdre pour tétraèdre de référence et pour plus de symétrie écrivons l'équation de la surface de la manière suivante :
/*(w, î?, 10, r) = aau^ -+- 022^* -h «sato^-t- a^^r^ -^ 2ai%uv + 2aiiuw
H- 2aiiur H- 2aîsvu) -\- 2a2ivr + 2a34tor = 0, en supposant
apq = aqp.
Les équations des pôles des faces du tétraèdre de référence sont alors
-K fû = «iiw -h ai2f -h aizw H- a^r = 6, — f i, = a2iU H- «22^? H- a2aW3 H- a^r = U, -—fw = a^iU -4- a32i? ^- «3310 -h a^^r = 0,
-^fr=. ail M -+- a^^v -\- a^zw -+- au^r = .
11 existe deux des douze plans passant par une arête du tétraèdre ; par exemple par l'arête CD (10 = 0, r = 0) passent les deux plans qui contiennent les pôles des faces a; = 0, y = 0. Les coordonnées de ces plans vérifient les équations
1^ = 0, r = 0, aiiwH-ai2t? = 0, a^iU-^-a^tV = 0. Considérons une quadrique 61 1^2 + 622t?* 4- &3310* H- 644r* -H 26i2Wî? 4- Ihi^uw + 2ôuwr -h 2^23 vt^
-h 2ft24t?r-h 2634ior = ;
écrivons qu^elle touche ces deux plans ; il faut pour cela que les équations
*ii**^ -h b22V^ H- 2&i2Wt? = 0,
{anu -j- ai2t?)(a2iw -+- a22t?) = aient mêmes racines ; ce qui donne
Ôjj __ (&22 26l2
an «22 «11^22
On aura des conditions analogues en ' écrivant que la quadrique touche les autres plans ; ces douze conditions sont visiblement compatibles, et l'équation de la quadrique cherchée est
«UW* 4- «22^* 4- «33tO* -h «44^2-1- ( 2iif!3 + ai2 ) Wl? + ( îilf^^ ^ ^13 )m*^
\wr =z 0.
8. Le lieu du pôle d*un plan fixe par rapport aux quadriques qui passent par les côtés d^un quadrilatère gauche est une droite qui s^appuie sur les deux diagonales de ce quadrilatère de telle sorte que chacune d'acnés se trouve divisée harmoniquement par cette droite et le plan donné.
Si le plan donné est à Tinfini, on a le théorème établi au nP 220.
9. Quand les six arêtes d'un tétraèdre sont tangentes à une quadriquSy le plan des trois points de contact des arêtes issues d'un même sommet rencontre la face opposée suivant une droite, les quatre droites ainsi déterminées appartiennent à un même hyperboloïde ,
Proposition corrélative,
10. On sait que si deux quadriques se raccordent en tous les points d'une génératrice, elles ont deux autres génératrices communes qui rencontrent en deux points A et B la génératrice de contact. Etudier ce que deviennent dans ce cas la développable commune et ses coniques doubles.
La développable se réduit à deux cônes de sommets  et B, et les coniques doubles se réduisent à Pensemble des points A et B. L'équation en X a une racine quadruple.
300 COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE
11 . De la remarque faite au numéro 209 on peut déduire une relation fort simple entre les racines des équations du quatrième degré qui déterminent, Tune, les coniques doubles de la développable commune à deux quadriques, et Tautre, les cônes passant par l'intersection de ces mêmes quadriques.
Soient
/*(w, t?, 10, r) = au^ + a't?2 -| \-dr^ = 0,
fi{Uy V, Wy r) = «1^2 -I- a[v^ H- h dir^ =
les équations tangentielles des deux quadriques. Pour que l'équation
/•-hXA =
représente une conique, on doit avoir
a + Xai ft^ + Xô; b'-h\b[ cH-Xci
ô^-hXM a'-hXa; 6-hX6i c' -f XcJ
&'-f-X&; ô-H-X&i a^ + Xaî c" -h 1(^1
c-j-Xci c'-hXci c''-\-'kc"i d-hldi
Les équations ponctuelles des deux quadriques sont
F{x, y, j, t) = Ax^ + Ay H h Dt^ = 0,
Fi(x, 2/, 2, t) =z Aia?2 + Aiy2 ^ 1 Di(2 = 0.
Pour que Téquation
F-h[JiF, =
représente un cône, il faut qu'on ait
A + [xAt B'-^iiB", B'-hfiBi
B'^-h-jjlBî A'+[JtA; B + [xB,
B' + fiBi B + iiBi A^H-ijlAï
G-^[xCi G'H-fxC; C+jxCî
Soit jjl' une racine de l'équation (2) ; à cette racine correspond un point (x', y\ z\ t*) ayant même plan polaire par rapport aux deux
