Théorème. — Tout plan tangent à un cône fait des angles
égaux avec les plans qui passent par la génératrice de contact et par les focales réelles.
Soient L et L' les traces des focales réelles sur le plan de rinfini ; ces deux points constituent un couple d'ombilics relatifs aux coniques S et G. Menons un plan tangent quelconque au cône, soit MT satracesur leplandeTinfini, M étant le point de contact avec la conique S. Il faut démontrer que le plan tangent fait des angles égaux avec les plans OML et OML' ; ou, ce qui revient au même (note 16, chapitre V) en désignant par MI et MJ les tangentes menées par M au cercle
de rinfini, que
(M.TLIJ) = (M.L'TIJ).
Or la droite MT est une droite double de Tinvolution formée par les tangentes issues du point M à toutes les coniques du faisceau tangentiel défini par G et S ; on a donc
(M.TLIJ) = (M.TL'JI), et par suite
(M.TLIJ) = (M.L'TIJ).
On établirait d'une façon analogue que si par une droite passant par le point on mène deux plans tangents au cône, ces deux plans sont également inclinés sur les plans qui passent par la droite OL et les focales réelles.
D'ailleurs toutes ces propriétés des focales d'un cône peuvent s'établir sans peine analytiquement.
262. Théorème (Ghasles). — Les focales d'un cône de sommet circonscrit à une quadrique sont les génératrices des quadriques homofocales à la quadrique donnée et passant par le point 0.
En effet, prenons le point pour origine et soit
l'équation de la quadrique donnée S.
L'équation générale des surfaces homofocales est f{u, V, w, r)-hÀ(w2-f- u2-+-w;2) = 0.
Écrivons que cette surface passe par l'origine ; il faut pour
326 COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE
cela (129) que l'ensemble des termes du second degré par rapport à w, u, w^
soit décomposable en un produit de deux facteurs.
On obtiendra une équation du troisième degré en X ; soit Xj une racine ; on aura
f{u, V, W, 0)H-Xi(l/2 + t?2-f.«;2) = PQ, (1)
P et Q désignant des fonctions linéaires en w, v, Wy de telle sorte que les équations
représentent deux points P et Q à Tinfini, et les droites OP et OQ sont les génératrices de la surface qui passe par l'origine.
Or le cône de sommet circonscrit à la quadrique S coupe le plan de Tinfini suivant une conique qui a pour équation
l'identité (1) prouve que P et Q constituent un couple d'ombilics communs à cette conique et au cercle de l'infini ; donc OP et OQ sont deux focales du cône, et le théorème est démontré.
Il est clair que les focales réelles seront les génératrices de l'hyperboloïde à une nappe qui passe par le point et qui est homofocal à la quadrique S.
EXERCICES ET NOTES
i. Soit Q une quadrique circonscrite à un ellipsoïde donné E et A le pôle par rapport à l'ellipsoïde du plan P de la courbe de contact des deux surfaces,
i^ Bérnontrer qu'il y a en général trois quadriques Qi, Q2> Qs homofocales avec l'ellipsoïde E et telles que les plans polaires Pi, Pa, P3 du point A par rapport aux quadriques Qi, Qa, Q3 passent par le centre de ta quadrique Q.
2» Les plans Pi, P2, P3 sont les plans principaux de la quadrique Q, et les coniques Ci, G2, C3, intersections des surfaces (P,, Qi), (P2, Q2)» (P3» Qa)» sont les focales de cette quadrique.
3** Les projections orthogonales des coniques Ci, C2, C3 sur les plans principaux de V ellipsoïde E sont des coniques homo focales.
On projettera en particulier ces coniques sur le plan principal qui contient l'axe majeur et Vaxe moyen de Vellipsoïde, et Von cherchera le lieu décrit par les foyers des coniques projetées quand la quadrique Q varie en restant circonscrite à V ellipsoïde ^ le plan P de la courbe de contact ne changeant pas,
(Concours général, 1892.)
Soit
l'équation tangentielle de rellipsoïde E rapporté à ses axes ; si
A = au -\- ^v -\-^(w -^ r =.
est réquation du point A, Téquation de la quadrique Q sera de la
forme
