Q = AE-4-A
Q = h{a^u^ + hH^ -f- c^w'^ — r^) -h [uol + t?p -f- loy -h r)2 = û .
i» Une surface homofocale avec E a pour équation
E + X(w2H-r2-Mo2)=:0, ^ (1)
et le plan polaire de A par rapport à cette quadrique est
Écrivons que ce plan passe par le centre de Q, dont les coordon-
nées sont ■; r > -r— ^ > , ' , ; on a
équation du troisième degré en X qui détermine les trois quadriques Qi, Q2, Qs.
Les trois surfaces seront représentées par l'équation (1), en y remplaçant X par les racines de (3) ; et en faisant de même pour l'équation (2), on aura les équations des plans Pi, P2, P3.
2° Il suffit d'établir que les coordonnées de ces plans vérifient les
équations
ha^u -h aA hhH -h ^A __ hc^w H- yA
ce qui ne présente aucune difficulté, en tenant compte de l'équation (3).
D'ailleurs quand nous aurons établi que les coniques Ci, G2, Gj sont les focales de Q, il en résultera bien que les plans Pi, P2, P3 sont les plans principaux de cette quadrique.
L'équation tangentielle d'une de ces coniques est
E-f- X(w* 4- v^ -+-to*) -h fx(wa H-tJp -h loy + rf = 0,
[i étant déterminé de telle manière que cette équation représente une conique, c'est-à-dire que les quatre équations
(a2 + X)w-hfxaA = 0,
(c2-4-X)w?+jxyA = 0,
— r 4- fxA =
aient des solutions communes en u, v, 10, r.
On obtient aisément la condition
/ a2 fia Y» \
ou, en tenant compte de l'équation (3),
Il en résulte que l'équation d'une des coniques Ci, C2, C3 est
AEH-A2-|-X^(M2 + v*-hw?2) 0,
ce qui montre que ces coniques sont les focales de la quadrique Q. 3° La projection de cette conique sur le plan des ocy a pour équation tangentielle
h(a^u^ 4- b^v^ — r^) + (wa -+- i?^ H- r)2 -f- Ihiu^-h v^) = ;
il suffit, en effet, de faire w = dans l'équation de la conique elle-même (72).
Si X varie, cette équation représente des coniques homofocales avec la conique
h(a^u^ -h bH^ — r2) -4- (wa -f- r^ H- r)2 zn 0,
et on a aisément le lieu des foyers de cette conique quand h varie.
2. Etant donné un système de quadriques homofocales et un point P dans Vespace^ déterminer :
i^ Le lieu des projetantes du point P sur ses plans polaires par rapport aux quadriques du système ; *
2° Le lieu, relativement à Vune quelconque des quadriques, des droites qui passent en P et sont perpendiculaires à leurs droites conjuguées ;
FOTiERS ET SURFACES HOMOFOCALES 329
3® Le lieu des normales menées par P à toutes les quadrigues données ;
4° Le lieu, relativement à Vune quelconque des quadriques, des droites passant en P et telles que Vune des sections faites par les plans passant par cette droite ait cette droite pour axe.
On trouvera pour tous ces lieux tm même cône équilatère. Montrer que la section de ce cône par un plan principal des quadriques est Vhyperhole d'Apollonius relative à la focale des quadriques situées dans ce plan et à la projection du point P, sommet du cône, sur ce plan,
3. On considère les coniques C suivant lesquelles un plan P coupe un système de surfaces homo focales. Trouver le *lieu des centres, des foyers et l'' enveloppe des axes des coniques C.
Considérons la surface S du faisceau qui touche le plan P, soit le point de contact ; nous prenons le plan P pour plan des xy, le point pour origine, les axes des x et des y étant les bissectrices des génératrices de la surface S situées dans le plan tangent P.
L'équation de la surface S est alors
f[u, V, w, r) = au^ + a'v^ -+- 2cur -f- 2c'vr -\- 2c"wr -f- dr^ = 0, et l'équation générale des surfaces homofocales est
f{u, V, 10, r) -4-X(u2 -f- v* -| io2) . 0.
On aura aisément Téquation de l'intersection de cette surface avec le plan des xy, ce qui donnera l'équation des coniques C et on sera ramené à un problème de géométrie plane.
Le lieu des centres est une droite, le lieu des foyers est une strophoïde et l'enveloppe des axes est une parabole.
4. Un dièdre droit se meut de façon qu'aune de ses faces passe par une droite D et que son arête décrive un plan Q. Démontrer que Venveloppe du plan de la seconde face est un cône du second degré ayant pour focales la droite D et une perpendiculaire au plan Q,
5. On donne une surface du second ordre Q et une sphère de rayon nul S, ayant pour centre le point P ; on considère toutes les surfaces S qui passent par l'intersection des deux premières,
i^ A étant vm, point de la surface Q, R le plan tangent en ce point, on considère les cônes qui ont pour sommet le point P et pour directrices les sections faites dans les surfaces S par le plan R. Démontrer que la. droite PA est un axe de tous ces cônes,
2® Chercher combien il existe de cônes parmi les surfaces 2. Dans
330 COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE
quel cas un des cônes trouvés devienUil un cylindre, un système de deux plans ?
3° Examiner si le point P et la surface Q restant fixes, la propriété de Vénoncé subsiste quand on remplace la sphère S par une
autre surface convenablement choisie.
{Concours général, 189 i .)
On ramène cette question à une étude des surfaces homofocales par une transformation par polaires réciproques.
Si on prend le point S comme origine, l'équation générale des surfaces S sera de la forme
transformons par le principe de dualité ; on obtient les surfaces homofocales
F(m, r, 10, r) -h X(m2 -f- ^2 4- to2) = 0.
C'est ainsi que la question a été résolue par M. Jordan, qui a eu le prix d'honneur.
Voir sa solution dans la Revue de Mathématiques Spéciales, Tome 1, p. n3.
6. Lorsque plusieurs surfaces du second ordre S sont circonscrites à une quadrique S, tout plan cyclique de S coupe les surfaces S suivant des courbes dont les focales passent toutes par detix points fixes.
7. On prend sur une quadrique une section plane quelconque ; cette courbe peut être prise pour la focale d'une surface nouvelle passant par l'une des focales de la première.
Soit f(u, V, r)=:0 (G)
Téquation de la section par le plan des xy d'une quadrique S ; l'équation de la quadrique sera de la forme
S^/ît*, V, r)-HXP2 = 0,
P =: désignant Téquation du pôle du plan des xy par rapport à la quadrique.
On en déduit
f(u, V, r) -h [jL(w2 -h v2 H- w?2) = s + [ijy 4- 1?2 -h io2) — XP2. (1 )
Déterminons jx de telle sorte que S H- jx(w2 4- 1?2 j ^aj q représente une conique, qui sera une focale de S. L'équation
S-4-[JL(u2-+-v2^^02)__XP2 =
représente une quadrique passant par la focale considérée, et Ton voit qu'elle admet pour focale la conique G par suite de l'identité (1).
8. On donne deitx quadriques homofocales^ et par une droite 'prise arbitrairement dans l'espace^ on mène les plans tangents à ces surfaces, puis Von joint le point A oii Vun des plans touche la première surfajce aux points B, B' oii ces plans touchent la seconde surface.
Démontrer que les droites AB, AB' sont également inclinées sur la normale en A à la première surface j et sont dans le même plan que cette normale.
On pourra prendre le point A pour origine et Je plan tangent en A à la surface correspondante pour plan des xy,
9. Owanrf trois plans rectangulaires sont tangents respectivement à trois quadriques homofocalesy le point d'intersection de ces trois plans est sur une sphère,
10. Le produit des distances de chaque point d'une focale d'une quadHque à deux plans tangents à la surface, parallèles entre etuc et parallèles à la tangente à la focale au point choisi, est constant,
11. Si, par une droite donnée, on mène des plans tangents à un système de surfaces homofocales, les normales correspondantes engendrent un parabolotde hyperbolique.
Si la droite est normale à l'une des surfaces du faisceau, les normales enveloppent une parabole.
12. Considérons une ellipse et une hyperbole telles que Tune de ces courbes soit la focale de Tautre ; prenons pour axes des x et des y les axes de l'ellipse, l'axe 0^ étant perpendiculaire à son plan; les équations des deux courbes seront
en supposant c^ =: a^ — b^.
Tous les points de l'hyperbole sont des foyers de l'ellipse ; nous allons démontrer que le rapport des distances d'un point quelconque de l'ellipse à un foyer et à la directrice correspondante est constant.
Soit M un point quelconque de l'hyperbole. La normale en ce point à cette courbe rencontre Ox en un point D ; par ce point je mène la perpendiculaire DD' à Ox, cette droite est la directrice relative au foyer M (240).
D'un point quelconque P de l'ellipse, j'abaisse PQ perpendicu-
PM laire sur DD' et je dis que le rapport -^ est constant.
332 COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS t/eSPACE
Soient, en effet, (a?, y, 0) et (a, 0, y) les coordonnées des points P et M ; on a
Or
en remplaçant,
( c a Y C» / tt2 \2
Mais l'abscisse du point D est — ja ; donc
