Étant donnés deux ellipsoïdes homofocaux

on dit que deux points (a?, y, 2) et (X, Y, Z) situés respectivement sur chacune de ces surfaces sont correspondants quand on a entre leurs coordonnées les relations

Démontrer que la distance de deux points y situés sur deux ellipsoïdes homofocaux, est égale à la distance de leurs points correspondants.

Ce théorème, dû à Iyory, est utilisé dans la théorie de l'attraction des ellipsoïdes.

14. Coniques sphériques. — Un cône du second ordre rencontre une sphère concentrique suivant deux courbes fermées symétriques

par rapport au centre de la sphère ; chacune de ces courbes est appelée une conique sphérique, un arc de grand cercle quelconque les rencontre en deux points.

Les focales réelles du cône rencontrent la sphère en deux points situés à Tintérieur de chaque conique ; ces points sont appelés les foyers de la conique.

Les plans cycliques du cône supplémentaire coupent la sphère suivant deux grands cercles qui ont pour pôles les foyers (259) ; ces grands cercles sont appelés les arcs cycliques de la conique sphérique .

Nous allons montrer que les coniques sphériques jouissent de propriétés fort analogues à celles des coniques planes.

Nous remarquerons pour cela qu'à toute propriété du cône correspond une propriété de la conique sphérique ; en outre nous ferons usage de la transformation par figures polaires ou supplémentaires.

Dans cette transformation, à un point de la sphère correspond le grand cercle dont ce point est le pôle. Si le point décrit une conique sphérique S, section de la sphère et d*un cône C, le grand cercle correspondant enveloppe une conique sphérique S', section de la sphère et du cône C supplémentaire du cône C; il en résulte qu'aux foyers d'une des coniques correspondent les arcs cycliques de l'autre.

Nous remarquerons aussi que l'arc de grand cercle qui joint deux points de la sphère est égal à l'angle des grands cercles correspondants .

Enfin, pour abréger le langage, par distance de deux points de la sphère nous entendrons la longueur de l'arc de grand cercle qui les joint ; par tangente à une conique sphérique, un arc de grand cercle tangent ; par rayons vecteurs d'un point, les arcs de grand cercle joignant ce point aux deux foyers.

Tout d'abord des propriétés du cône établies au numéro 261 nous déduisons les théorèmes suivants :

Théorème 1. — La tangente en un point d'une conique splièrlque fait des angles égaux avec les rayons vecteurs du point.

Théorème 11. — Les tangentes issues d'un point à une conique sphérique font des angles égaux avec les rayons vecteurs du point.

Transformons ces théorèmes par figures supplémentaires ; on a les nouveaux énoncés qui suivent :

Théorème 111. — La tangente en un point A d'une conique sphérique rencontre les arcs cycliques en des points équidistants du point A.

Théorème IV. — Si un arc de grand cercle rencontre une conique

sphérique en deux points A et A', et les arcs cycliques en B et B',

on a

arc AB = arc A'B'.

On voit ainsi que les arcs cycliques d'une conique sphérique jouent un rôle analogue à celui des asymptotes d'une conique plane.

Théorème V. — Si d'un point cfune conique sphérique on abaisse des arcs de grand cercle perpendiculaires sur les arcs cycliques, le produit des sinus de ces arcs est constant.

Nous allons établir la propriété correspondante du cône.

Soit

a;2 } 2^2 | .2 — pQ

l'équation du cône, le sommet étant à Torigine,

désignant les équations des plans cycliques.

Soit M un point du cône; abaissons MH et MK perpendiculaires

sur les plans cycliques et désignons par a et a' les angles de la

droite OM avec les deux plans ; on a

MH . , MK

sma = ^, sma = ^ ,

d'où

. , MH.MK X.PQ

sin a.sm a = — , = -r— — ~ — ^,

où X désigne une constante. Le théorème est démontré. En transformant ce théorème, on a :

Théorème VI. — Le produit des sinus des arcs de grand cercle perpendiculaires abaissés des foyers sur une tangente est constant.

Théorème VU. — La somme des distances d'un point d'une conique sphérique auœ deux foyers est constante.

Soient FP, F'P' les arcs de grand cercle perpendiculaire menés à la tangente au point M.

Désignons par M l'angle FMF' ; dans les triangles sphériques rectangles MPF, MP'F', on a

M sin FP = sin FM cos —^ ,

M sin F'P' = sin F'M cos -|- ;

donc

M sin FM. sin F'M .cos^ — = sin FP.sin F'P' = constante.

Or de la formule fondamentale de la trigonométrie sphérique, cos a = cos b cos c -h sin b sin c cos A,

336 COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE

on déduit

„ A sin p sin (p — a)

ces» -— = . , . »

2 sin b sm c

2p désignant a-{-b-]-c.

Appliquant cette formule au triangle FMF', on voit que

M sin FM. sin F'M.cos^ — = sin p. sin (p — FF).

Il en résulte que

sin p,sin(j> — FF'} = constante,

et par suite p est constant.