Quadriques harmoniquement inscrites et cii*conserites

— Soient deux quadriques déterminées, Tune par son équation ponctuelle et Tautre par son équation tangentielle,

f{x, y, z, t) = ax^ -+- ay + a^z^ -h 26î/z 4- 2ô'za? -+- Wxy

-+- ^cxt -f- ^c'yt -h 2c*zf -f- *2 = 0. (S)

-f- Sywr -f- 2/vr -f- V«^^ + ^''^ = 0- .(2) Considérons l'expression

e = aa4-aV+aV4-26g + 26'|i'H-26''p''-H2cY-f-2cYH-2cYH-rfô ;

si Ton a

nous dirons que la surface S est harmoniquement circonscrite à S, et que la surface S est harmoniquement inscrite à S. Nous verrons plus loin les raisons de cette dénomination . Auparavant nous établirons les théorèmes suivants.

Théorème . — Dans un faisceau ponctuel de quadriques, il en existe en général une seule qui soit harmoniquement circonscrite à une quadrique donnée ; s'il y en a deux^ toutes le sont.

Si Ton suppose que les coefficients de f(x, y^ z, t) soient fonctions linéaires d'un paramètre X, l'équation (1) est du

338 COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS L'eSPACE

premier degré en X, et admet en général une seule solution, à moins qu'elle ne soit identiquement satisfaite .

Théorème corrélatif. — Dans un faisceau tangentiel de quadriques, il en existe en général une seule qui soit harmoniquement inscrite à une quadrique donnée ; s'il y en a deux, toutes le sont.

Même démonstration.

264. Pour interpréter géométriquement la condition (1), nous examinerons d'abord quelques cas particuliers.

1* Si la quadrique S se réduit à un point double, la condition (i) exprime que ce point est sur la quadrique S.

2* Si la quadrique S se réduit à deux points, la condition (1) exprime que ces deux points sont conjugués par rapport à la quadrique S.

3^ Supposons que la quadrique S se réduise à une conique r, et désignons par C la conique section de la surface S parle plan de la conique r.

Menons une tangente quelconque à r et soit P le pôle de

cette tangente par rapport à G ; par le point P je mène deux

tai^entesà r qui rencontre la tangente précédente aux points

Q et R.

Je dis que si Ton a

le triangle PQR est conjugué par rapport à C, autrement dit que la conique r est harmoniquement inscrite à G.

En effet, prenons sur QR un point arbitraire M ; les points P et M sont conjugués par rapport à S ; il existe donc deux quadriques barmoniquement inscrites à S, d'une part r et d'autre part l'ensemble des points P et M. Il en résulte que toutes les quadriques du faisceau tangentiel déterminé par r et l'ensemble des points P et M seront harmoniquement inscrites à S .

Or la tangente menée de M à r rencontre PQ en un point N ; les deux points R, N font partie du faisceau tangentiel,

ils sont conjugués par rapport à S, ce qui montre que PQ est la polaire du point R par rapport à C, ou que le triangle PQR est conjugué par rapport à C .

Réciproquement, si la conique r est harmoniquement inscrite à C, la condition (1) est vérifiée.

Soit PQR un triangle circonscrit à r et conjugué par rapport à C; menons une tangente à r rencontrant PQ en R' et PR en Q'.

Le faisceau tangentiel de quadriques défini par les deux couples de points Q, Q' et R, R' contient deux quadriques harmoniquement inscrites à S ; donc pour toute quadrique du faisceau, en particulier pour la conique r, la condition (1) sera vérifiée .

En résumé, si la quadrique S se réduit à une conique r, la condition (1) exprime que cette conique est harmoniquement inscrite à la, conique section de S parle plan de la conique r.

4** Si la quadrique S se réduit à un plan double, la condition (1) exprime que ce plan est tangent à 2].

50 Si la quadrique S se réduit à deux plans, la condition (1) exprime que ces deux plans sont conjugués par rapport à S-

60 Enfin si la quadrique S se réduit à un cône, on pourra raisonner comme dans le troisième cas (en se laissant guider par le principe de dualité) et on reconnaîtra que la condition (1) exprime qu'il existe une infinité de trièdres inscrits dans le cône S et conjugués par rapport au cône circonscrit à S et de même sommet ; ou encore que si l'on coupe ces deux cônes par un plan, la section du cône S est harmoniquement circonscrite à la section du deuxième cône.

Nous allons maintenant supposer que les quadriques S et S sont quelconques.

265. Théorème. — La condition nécessaire et suffisante pour que S soit harmoniquement circonscrite à S est qu'il existe une infinité de tétraèdres inscrits dans S et conjugués par rapport à S.

i^ La condition est nécessaire. Supposons que S soit harmoniquement circonscrite à S. Soit M un point quelconque

340 COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE

de la surface S ; prenons son plan polaire par rapport à S, ce plan coupe S suivant une conique G et S suivant une conique r. Je prends un point quelconque P sur la conique C, et le plan polaire de ce point par rapport à S coupe la conique C en deux points Q et R.

Nous allons montrer que le tétraèdre MPQR qui est inscrit dans la quadrique S est conjugué par rapport à S, et pour cela il sera suffisant d'établir que le triangle PQR est conjugué par rapport à r, ou que PQ est la polaire de R par rapport à cette conique.

Le plan tangent en M à S et le pUn polaire de ce point forment une quadrique harmoniquement circonscrite à S ; donc toutes les quadriques passant par Tintersection de ces deux plans et de S sont harmoniquement circonscrites à S ; en particulier la propriété aura lieu pour le cône de sommet M et de directrice C. Si on se reporte au numéro précédent (6*), on voit que la conique C est harmoniquement circonscrite à r, ce qu'il fallait démontrer.

2** La condition est suffisante. Supposons que le tétraèdre MPQR soit inscrit dans S et conjugué par rapport à S, je dis que S est harmoniquement circonscrite à S.

En effet, la propriété a lieu pour le cône de sommet M et de directrice C, ainsi que pour Tensemble formé par le plan tangent en M à S et le plan PQR ; donc cette propriété subsiste pour toute quadrique appartenant au faisceau ponctuel correspondant, c'est-à-dire pour la quadrique S.

Le théorème est démontré.

On voit ainsi qu'une quadrique harmoniquement circonscrite à une quadrique donnée est circonscrite à une infinité de tétraèdres conjugués par rapport à cette quadrique.

Corrélativement, on peut énoncer le théorème suivant :

Théorème. — La condition nécessaire et suffisante pour que S soit harmoniquement inscrite à S est que S soit inscrite dans une infinité de tétraèdres conjugués par rapport à S.