On déduit de là la proposition suivante
Étant données deux quadriques S et S^ s'il existe un tétraèdre inscrit dans S et conjugué par rapport à S, il en existe une infinité, et il existe aussi une infinité de tétraèdres circonscrits à ^ et conjugués par rapport à S.
267. Application. — Théorème. — Les sphères circonscrites aux tétraèdres conjugués par rapport à une quadrique à centre coupent orthogonalement la sphère de Monge.
Soit une sphère
S = a;2 ^. y2 | .2 2aa7 — 2^1/ — 2^3-h^ = 0, et une quadrique à centre
S = Aw2 | R^2 | (;;^2 r» = 0.
Pour que la sphère soit harmoniquement circonscrite à la surface, il faut qu'on ait
ce qui montre que la puissance du centre de la quadrique par rapport à la sphère est égale à A -*- B + C, carré du rayon de la sphère de Monge ; le théorème est démontré.
Si cette condition est remplie, la quadrique est harmoniquement inscrite à la sphère ; on en conclut que si une quadrique à centre est inscrite dans un tétraèdre conju^gué par rapport à une sphère, la puissance de son centre par rapport à la sphère est égale à la somme des carrés des demi-axes,
268. Remarque. — Étant donné un tétraèdre, il n'existe pas en général de sphère conjuguée par rapport à ce tétraèdre ; la condition nécessaire et suffisante pour qu'il en existe une est que les quatre hauteurs du tétraèdre concourent en un même point, et ce point est le centre de la sphère. On dit dans ce cas que le tétraèdre est orthocentrique, et le point de concours des hauteurs, c'est-à-dire le centre de la sphère conjuguée, est dit Vorthocentre du tétraèdre .
On sait aussi que la condition nécessaire et suffisante pour qu'un tétraèdre soit orthocentrique est que les arêtes opposées soient deux à deux rectangulaires.
269. Le théorème du n» 267 peut alors s'énoncer de la façon suivante :
Le lieu des centres des quadriques inscrites dans un tétraèdre orthocentrique et pour lesquelles la somme des carrés des axes est constante est une sphère quia pour centre Vorthocentre du tétraèdre.
342 COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS l' ESPACE
C'est la sphère conjuguée par rapport au tétraèdre qui constitue le lieu dans le cas où la somme des carrés des axes est nulle.
270. La sphère de Monge d'une quadrique a pour limite un plan, dit plan de Monge, si la surface se transforme en un paraboloïde ; les théorèmes du n° 267 peuvent alors s'énoncer :
Les sphères circonscrites aux tétraèdres conjugués par rapport à un paraholoide ont leurs centres sur le plan de Monge,
L'orlhocentre d*un tétraèdre orthocentrique circonscrit à un paraboloïde est sur le plan de Monge,
271. A l'aide des considérations précédentes, on peut établir simplement le théorème du n^ 152, à savoir que si deux tétraèdres ahcd et a'h'c'd' sont conjugués par rapport à une même quadrique S, toute quadrique qui passe par sept de ces sommets passe par le huitième .
En effet, soit une quadrique S passant par les points a, 6, c, d, a', &', c' ; elle est harmoniquement circonscrite à S, donc le pôle du plan a'h'c' par rapport à S, c'est-à-dire le point d\ doit être situé sur S.
272. Pour qu'une quadrique soit harmoniquement circonscrite au csrcie de l'infini, il faut que le cône des directions asymplotiques contienne trois génératrices formant un trièdre tri rectangle ; on en conclut que cette dernière condition s'exprime analytiquement par la relation
A-hA'-l-A" = 0,
A, A', A" désignant les coefficients de x^, y^, z^ dans l'équation ponctuelle de la surface.
De même, pour qu'une quadrique soit harmoniquement inscrite à un cône isotrope de même centre, il faut que le cône des directions asymptotiques puisse être inscrit dans un trièdre trirectangle ; on en conclut que cette dernière condition s'exprime analytiquement par la relation
a, a', a" désignant les coefficients de m^, v^, w^ dans l'équation tangentielle de la section de la surface par le plan de l'infini.
273. Soient deux quadriques déterminées par leurs équations tangentielles,
f[u, V, w, r) = au^ -h a'v^ -h aV-\-2bvw 4- "^b'wu -h Wuv
-h 2cier -h "Ic'vr -f- "^d'wr -h rfr^ = 0, (S)
a-i-lui
6"-f-Aé;
