c,Mr -f- "Id^vr + 2c>r + rfjr^ = 0. (Si
L'équation générale des quadriques inscrites dans la développable commune à S et à Si est
L'équation ponctuelle correspondante est
si on y considère X comme inconnue, les racines de cette équation transportées dans Téquation (1) donneront les quadriques du faisceau tangentiel qui passent par le point [x,y, z, t). Cette équation est du troisième degré en X, on peut l'écrire
F(a?, y, z, t)^l^x, y, z, t}'hl'<i>,{x, y, z, t)-i-l'¥,{x, y. z, t) = 0. Les équations
sont les équations ponctuelles des quadriques S et Si ; les équations
*(aî, y, z, t) = 0, *i(a:, y, z, t) =
sont du deuxième degré par rapport à ar, y, z, t ; elles représentent des quadriques doijt nous allons étudier les propriétés.
274. Désignons par 2 et Si ces deux quadriques. On peut dire que la quadrique S est le lieu d'un point tel que les valeurs de X relatives aux quadriques du faisceau tangentiel (1) qui passent par ce point vérifient la relation
Al A2 A3
tandis que la quadrique Si est le lieu des points pour lesquels
on a
Xi-t-Xa-hXa =0.
344 COORDONNÉES TANGENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE
Or il est clair que si Ton fait un changement de coordonnées quelconque, les valeurs de X correspondant à un point déterminé conservent la même valeur.
Supposons le point à l'origine, l'équation en / devient
ab" h' qu'on peut écrire
en posant
Xoi -Ibi
- la'i b ■
- Ibi a" ■
■lb[ •lai
Xe
x^ei -4- X^Di = 0,
Di =
26iP-
e = aia-f-aja'-f-flj
01 = ail + aVj H- a"a'[ + 26pi ■
^" et ai, <, b" et tti, ai, déterminants D et Di.
Or l'équation
r-2 i fl,'ii2 i «"-2
. . , PJ désignant les coefficients de . , b\ dans les développements des
aa?-*
2pî/z + !2p'zx + 2p"a?î/ =
est l'équation ponctuelle du cône C qui a pour sommet l'origine et qui est circonscrit à la quadrique S ; on en conclut que la condition
ou
Aj . ^2 A3
exprime que le cône C est harmoniquement circonscrit à la quadrique Si, ou, ce qui revient au même, que le cône G est harmoniquement circonscrit au cône Ci qui a pour sommet l'origine et qui est circonscrit à la quadrique Si.
Il résulte de là que la quadrique S, qui a pour équation
est le lieu d'un point tel que le cône circonscrit à S ayant pour
sommet ce point soit harmoniquement circonscrit au cône circonscrit à Si et ayant même sommet.
On verrait de même que la quadrique S,,
*i(ar, y, z, t) = 0,
est le lieu d'un point tel que le cône circonscrit à Si et ayant pour sommet ce point soit harmoniquement circonscrit au cône circonscrit à S et ayant même sommet.
275. Les deux quadriques S et 2i ont même tétraèdre conjugué commun que les quadriques S et S,.
En effet, rapportons ces deux dernières à leur tétraèdre
conjugué commun ; leurs équations tangentielles peuvent
s'écrire
au^ -4- a'u2 -+- aV -+- dr^ = 0,
aiw2 -f. a\v^ + alîv^ -h d^r^ = 0.
L'équation ponctuelle des quadriques inscrites dans la développable commune est alors
a -f- Aoi d -{- \a\ a!' -f- \a[ d -}- Xrfj
En annulant les coefficients de X et de X*, on a les équations des surfaces S et Si, qui ne renferment que des termes en 0?*, j/^ z'^^ t^ ; on en conclut que ces quadriques sont conjuguées par rapport au tétraèdre de référence.
276. Cas particulier. — Supposons que la quadrique Si se réduise au cercle de l'infini ; la quadrique S sera alors le lieu des sommets des trièdres trirectangles dont les arêtes sont tangentes à S, et la quadrique Si sera le lieu des sommets des trièdres trirectangles dont les faces sont tangentes à S ; ce dernier lieu sera la sphère de Monge si la surface S a un centre, ou le plan de Monge si cette surface est un paraboloïde.
On retrouve ainsi l'équation de la sphère de Monge en annulant le coefficient de X* dans Féquation
346 COORDONNÉES TAN6ENTIELLES. — GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE
on obtient, comme on Ta
déjà trouvé au n" 195,
rf(a?2 -+- tf 4-
tcxt-
2c'y< — 'id'zt ■+■ [a
■ ay^ = 0.
