I. Soù le second membre de Inéquation dij/erentielle

holomorphe pour \x — Xq\<, i^t | J^ —- J*© | < p ? | [^ — H^o | < t^. L^ intégrale y^ de (i8) qui prend en Xq la valeur initiale yo est une /onction holomorphe de x et ^l pour x et ^ respectivement voisins de Xq et [Xq.

En effet, soit M la plus grande valeur du module de/ dans le domaine \x — x^^] < r, | ^ — J^o| < p, | [J^ — [J^ol < t. D'après le théorème de Cauchy (page i8), l'intégrale j^(a que définissent les conditions initiales x^^ y^ est développable par rapport aux puissances de X — Xq dans un cercle de rayon au moins égal à

(*) Voir PoiNGARÉ, Les méthodes nouvelles de la Mécanique céleste, p. 4^ et 599; Picard, Traité d'Analyse, t. III, Chap. VIïI.

/ ; d'ailleurs les coefficients du développement (fonctions rationnelles des coefficients de /) sont toutes fonctions holomorphes de [jl dans un domaine fini non nul entourant [jl = [jlo. On en conclut que l'intégrale y^ est, elle aussi, fonction holomorphe de [x. (Cf. p. 9, note 2.)

II. Les hypothèses de renoncé précédent étant supposées satisfaites, soit y'^ une fonction holomorphe de [jl qui se réduit à y^ pour [jl= [Xq. L^ intégrale y^ de (18) qui prend en Xq la valeur initiale y^ est une fonction holomorphe de x et ik pour X et [JL respectivement voisins de Xq et jjio. Nous savons, en effet, que jKjji est fonction holomorphe de x^ de y^ et de [jl.

Du cas où le coefficient différentiel fesi holomorphe on passera au cas où il est méromorphe en retournant l'équation (18) et la mettant sous la forme

dx I

dy /(^,7i f^)

Puis, faisant le changement de variable^ = z"*, on examinera le cas où la valeur initiale yo est infinie. Enfin on étudiera l'intégrale j-jx» non plus seulement au voisinage d'un point Xq, mais le long d'un chemin quelconque L défini comme à la page 33. Je me contente d'énoncer les résultats auxquels on sera conduit [les démonstrations sont identiques à celles qui ont été données aux pages 10, i5 (note) et 33] :

111. Supposons que f{x^ y, [jl) admette un pôle pour x = x^y y=zyQ, jjlz=:[jlq, et soit holomorphe partout ailleurs dans le domaine \x — a^o | < r, \y — yo | < p? | [Ji — - [Xo | < t. La branche d'intégrale jKpi de (18) qui prend en Xq la valeur initiale y^ est une fonction algébroïde de x et y- pour x et y- respectivement voisins de Xq et [jlo« H en est de même de la branche 'd'intégrale qui prend en Xq une valeur y'^j fonction holomorphe de [jl et se réduisant à yo pour [jl = jjlq. Soit, d'autre part, q le nombre des^ déterminations de y^^ qui sont confondues en yo pour x = Xq. Lorsque les variables x et ^ sont situées dans un certain domaine au voisinage des valeurs Xq, [jlo, la branche d'intégrale y^ admet q déterminations, et q seulement, voisines de y^.