IV. Ces divers résultats sont applicables à l'équation

g=-zy(^,i,j.)

pour a?, -S, jjL respectivement voisins de x^^ o, [Xq.

. V. Soit L un chemin quelconque issu de x^, ne passant par aucun des points singuliers fixes (Ç), et dont aucun point, sauf

peut-être le dernier, x^ n'est point critique Ae y{x^ C©). Suivons sur L, à partir de la valeur initiale C, l'intégrale y^{x^ Cj :

i" Si la fonction de x^ y(j^(^j G), est, pour x voisin de x, une fonction holomorphe, méromorphe ou algébroïde, la fonction de x^ jjL et C, jK{ji(^î G), est pareillement, pour x^^etÇx respec-

tivement voisins de x, jx© et Gq, une fonction holomorphe, méromorphe ou algébroïde.

2° Si q déterminations de y^^{Xj Go) se permutent autour

du point x^ un nombre égal, gr, de déterminations de la fonction de a:, y^{x^ G), se permuteront au voisinage du point x, pour jjL e^ G respectivement voisins de [jlo et Gq.

Tels sont les théorèmes fondamentaux qui permettent de comparer entre elles les intégrales de l'équation (i8) pour deux valeurs voisines du paramètre jjl. Faisons en particulier [jlo=o et considérons l'intégrale y ji('^î G) le long d'un chemin L où jko(^î G) est holomorphe. D'après ce qui précède, on peut, le long de ce chemin, développer j^i^ par rapport aux puissances entières de [jl. Les coefficients du développement seront des fonctions de x qu'il sera facile de déterminer. Posons, en effet,

r = cpo -+- «>i {Ji H- ©2 H^* -t- • • •

et substituons cette série à y dans les deux membres de l'équation (19). Développant le second membre par rapport aux puissances de [JL, nous aurons

Cette égalité doit être satisfaite quel que soit [a : donc les coeffi-

cients des ])uissaaces semblables de [x sont égaux dans les deux membres, et Ton a

dix dy * d(JL

On pourra ainsi calculer de proche en proche les coefficients 'foî ®M ?2î • • •? chacun d'eux étant défini (lorsque les précédents sont connus) par une équation différentielle linéaire.