V. — Appel à la notion de continuité

Pour clore ces préliminaires, je dirai quelques mots d'une méthode générale d'investigation qui me sera utile en mainte occasion.

C'est un fait digne de remarque que, dans les différents ordres de sciences, l'esprit humain suit une marche semblable : il part des faits connus, puis, par continuité, cherche à s'élever de ces faits à d'autres faits, voisins mais plus complexes. Ce fécond procédé de découverte, la théorie des équations différentielles ne l'a pas négligé : elle en a condensé la vertu en trois ou quatre théorèmes sur lesquels nous allons porter notre attention.

Supposons en premier lieu qu'une équation (i) (page 8) ait une intégrale particulière, ^(^, Co), exceptionnellement simple (cette intégrale est définie par la valeur initiale Co qu'elle prend

(*) Voir les Leçons sur la théorie des fonctions de M. Borel, Chapitre IV, et le Mémoire de M. Poincaré cité plus haut, p. 25, en note.

en un point fixe Xq). Ne va-t-on pas pouvoir tirer parti des propriétés de y(x^ Co) pour étudier les intégrales voisines, c'est-à-dire les intégrales qui prennent en Xq des valeurs C voisines de Co? Le problème revient a chercher comment varie en fonction de C l'intégrale y (Xj C) (définie par la valeur initiale C), si on la suit le long d'un chemin déterminé. Or, c'est là une question que, dans des cas particuliers, nous nous sommes déjà posée (corollaires des pages 9, lo et i5, note). Le théorème suivant (*) y répondra :

Soit L un chemin quelconque issu de Xq, ne passant par aucun des points singuliers fixes ($), et dont aucun point, sauf

peut-être le dernier, x^ n'est point critique de y{x, Co) (^). Suii^ons sur L, à partir de la valeur initiale C, l'intégrale

y(x,C) et [arrêtons- no us au point x :

1° Si la fonction y{x, Co) de x est, pour x voisin de x, une fonction kolomorphe, méromo/phe ou algébroïde, la fonction y (x^ C) de X et C est pareillement, pour x et C respectivement

voisins de x et Co, une fonction holomorphe, méromorphe ou algébroïde.

2° Si q déterminations de y{x^ Co) se permutent autour

de X [qui est alors point critique isolé) ^ un nombre égal {q)de déterminations de la fonction de x, y {x^ C) se permuteront

auprès du point x pour C voisin de Co.

Pour démontrer la première partie de ce théorème, on procédera comme à la page 20. On sait que la proposition énoncée est vraie

pour X voisin de Xo. D'autre part, il n'est pas possible qu'elle cesse d'être vraie à partir d'un point x' du chemin L; car soient CJ^, G

les valeurs àey [x\ Co) eX. y{x\ C) : pour :z? et C voisins de x' et Co, y sera fonction holomorphe, méromorphe ou algébroïde de C,

(*) C/. les Leçons de Stockholm de M. Painlevé.

(^) Si un point de L autre que le dernier était critique pour y (a;, Cq), cette

intégrale aurait en x deux valeurs distinctes, dont chacune engendrerait une fonction holomorphe, méromorphe ou algébroïde de x et [C, lorsque â? et C

varieraient au voisinage de x et Cq. D^ai Heurs il serait toujours possible de

déformer légèrement le chemin L de manière à n'obtenir en x qu^une détermination àt y {x^ C, ).

cependant que C sera fonction holomorphe ou méromorphe de G ; donc la proposition est vraie sur tout le chemin L.

La seconde partie du théorème est une conséquence du corollaire de la page lo. Appelons j^c 1* valeur de^(^, C) au pointer et supposons que pour x = x^ j^(;r, Co) ait q déterminations confondues en yç,^. Le résultat que nous avons obtenu page 1 1 peut être interprété comme il suit : lorsque les variables x^ y'^^ x'^ sont

situées dans un certain domaine D au voisinage des valeurs x^

j^Co) ^? Ifi^ branche d'intégrale j^(^, C)= cp (^,^'0, ;r^)qui est égale

ky'^ en x^ admet q déterminations, et ^r seulement, voisines de jKc • Considérons ces q déterminations pour une valeur fixe de C voisine de Co : je dis qu'elles se permutent entre elles au voisinage du

point X. Pour le vérifier, entourons x d'un petit cercle y (intérieur

au domaine D) sur lequel nous prendrons un point x' . La branche

d'intégrale ^ (^, Co) a, en ^', ^valeurs différentes ^(^'^^,. . .,jKco. V^^ se permutent entre elles lorsque x décrit une fois, deux fois, . . ., q fois le contour y. D'ailleurs la première partie de notre théorème est applicable le long de y. Si donc l'intégrale y (^, C) a en a?' une

première valeur j^é^ suffisamment voisine de jKcoi? ^^^ acquerra au même point (lorsque x décrira le contour '^) q — -i autres

valeurs respectivement voisines de jKco,, ? • • m J^Co, • ^^ d'autres termes, y{x^ C) admet, en x'^ q déterminations se permutant entre elles autour de points critiques qui tendent tous vers x lorsque C tend vers Co.

Il sera souvent commode de réserver le nom de point critique simple aux points critiques algébriques autour desquels se permutent seulement deux déterminations d'une fonction : lorsque q déterminations s'échangent autour de x^ on admettra qu'il y a

q — I points critiques confondus en x. Si l'on adopte ce langage, on peut dire qu'à tout point critique x^ de jk {^t C©) correspond un point critique x\^ de y{x^ C), voisin de x^ pour C voisin de Co- Ainsi se manifeste entre les allures des deux intégrales une étroite ressemblance, dont on profitera pour étudier les propriétés àey{x,C).

La comparaison de deux intégrales voisines sera surtout instructive lorsque l'une des deux intégrales sera une fonction connue .

Mais c'est là, ne l'oublions pas, un cas exceptionnel. Aussi allonsnous, pour tirer du raisonnement par continuité tout le parti qu'il comporte, recourir à un artifice.

Introduisons dans l'équation (i) un paramètre variable [jl. Nous formerons une nouvelle équation différentielle

qui coïncidera avec l'équation (i) pour une valeur particulière de [x (par exemple jji = i), mais qui, pour d'autres valeurs de [jl (par exemple [jl = o), pourra être plus simple que l'équation (i). Si nous savons alors suivre la variation des intégrales de (i8) lorsque [x varie avec continuité de o à i , nous pourrons déduire des propriétés de l'équation

certaines propriétés correspondantes de l'équation (i). L'application de cette méthode présentera quelquefois des difficultés; cependant nous parviendrons souvent à la mener à bout, en nous appuyant sur les théorèmes suivants ( * ) .'