CROISSANCE ET ALLURE D'UNE BRANCHE D'INTÉGRALE

Considérons un point singulier transcendant au voisinage duquel s'échangent une infinité de branches d'une même intégrale. Pour étudier ce point singulier, il y aura lieu de traiter deux problèmes distincts : i** étude d'une branche d'intégrale isolée au voisinage du point singulier ; 2° étude du mécanisme au moyen duquel cette branche s'échange avec les autres.

C'est du premier de ces deux problèmes que je vais m'occuper dans ce Chapitre. Je me bornerai d'ailleurs à l'équation différentielle

^ ^ dx ^(07,^)'

où $ et ^sont des polynômes par rapport à ^ Q\pav rapport à x, et je supposerai le point singulier transcendant renvoyé à l'infini. Je chercherai donc à étudier l'allure des branches d'intégrales (*) de l'équation (i) lorsque le module de x augmente indéfiniment (^).

I. — Branches dUntégrales à croissance exponentielte. Soient p el q les degrés des polynômes $ et ^ par rapport à y.

(*) D'une manière générale, j'entends par branche d'intégrale : au 8«9s iMrgtf une intégrale suivie le long d'un chemin direct {voir p. 4^); au sens restreint, une intégrale suivie le long d'un chemin rectiligne (en ce cas je désignerai la branche d'intégrale par l'expression : ensemble des caractéristiques issues d'un point donné avec une valeur initiale donnée, voir p. 58).

(^) C^est M. Borel qui s'est, le premier, systématiquement préoccupé d'étudier la croissance des fonctions définies par les équations .différentielles [Mémoire sur les séries divergentes {Ann. se. de VÉc. Norm. sup., 1899)]. — Cf, LindelÔf, BulL de la Soc. math, de France, 1899.

4o CHAPITRE II.

Je distinguerai deux cas suivant que p — q est égal à i ou différent de I, et j'examinerai d'abord le premier cas.

Lorsque p — ^ = i , l'équation proposée est de la forme

(i) ~- («1-1- a.j'-h. . .-ha^yP-^) = bo-h. ..-h bpyP,

les a et b étant des polynômes en x. Pour étudier cette équation, il convient encore de distinguer deux cas, suivant que le degré de bp est supérieur ou égal, ou bien inférieur au degré de ap. Je supposerai ici la différence [x des degrés de bp et ap positive ou nulle, et je montrerai qu'en ce cas il y a entre la croissance des intégrales de l'équation (2) et la croissance des fonctions entières une remarquable analogie. D'ailleurs, les intégrales de (2) jouissent d'une propriété qui nous incite naturellement à les rapprocher des fonctions entières : ces intégrales ne présentent aucun infini à distance finie. En effet, si l'on pose y= 2~', on transforme l'équation (2) en

cfz — z( b,)ZP-\- ...-}- h,,)

et la nouvelle équation n'admet d'autre intégrale nulle à distance finie que l'intégrale constante 2 = j^"'* = o.

Pour étudier les intégrales de (2), nous poserons^ = uv et

Plaçons-nous à l'extérieur d'un cercle contenant les zéros de Up et bp^ et faisons varier x sur un rayon issu de l'origine. Nous pouvons écrire — ^ = C + - ♦ C étant un polynôme de degré jjl et - une

fraction rationnelle de degré négatif ou nul. On voit alors que lorsque le module \x\ augmente indéfiniment le terme en x^ est

prépondérant dans —^ ; pareillement (*) le terme en ^l^"^* est pré-

-^dx. Soit gx^^^ ce terme : quelque petit

(^) Pour le vérifier en toute rigueur, ii suffit de se reporter à l'expression générale de l'intégrale de la fraction rationnelle -^-

CR01SSA.NCE ET ALLURE D UNE BRANCHE D INTÉGRALE. ^l

que soit e, on aura à partir d'une certaine valeur r de x l'inégalité

On conclut de là que, dans [jl + i angles ayant pour sommet l'origine et pour amplitude — (a étant un nombre arbitrairement

petit), le module de u augmente indéfiniment avec | x | , tandis que dans [JL -h I angles allernant avec les précédents ce module décroît indéfiniment. Plaçons-nous dans l'un des [jl -f- i premiers angles, et supposons que x. s'éloigne indéfiniment sur un rayon R. On peut trouver un nombre positif k tel que l'on ait, sur R, à partir d'une certaine valeur /•' de | 57 1,

Cela dit, revenons à l'équation (2). Nous avons posé y=zuv.

Tenant compte de la valeur de ~» nous écrirons

.-h bp-iUP-^i>r-^— u'ia^v - f- . . . -h g^^-i up-^ vP-^ ) ai u

apUPvP-^

Nous allons chercher une limite supérieure du module | \?' \ sur le rayon R.

Désignons par o- un nombre supérieur aux degrés de tous les polynômes a et 6, et supposons provisoirement que l'on ait à partir d'une certaine valeur de I x

\uv\>\x\<^.

Dans ces conditions, lorsque \x\ deviendra très grand, tous les termes du dénominateur de v' s'effaceront devant le dernier. D'ailleurs I ap I reste supérieur à un nombre fini non nul. On pourra donc trouver, un nombre positif h tel que l'on ait à partir d'une certaine valeur r'' de | a? | l'inégalité

Module du dénominateur de r' > /t | uPvp-'^\

D'autre part, quand | x \ est très grand, on a

4^ <2iiA«*mic II.

Ofl peut donc lrc»u\€r uii nuiniire positif /«., 1* .! ont- i on ail- * J**^ tir d'une certaine laieuj r* oe jr ^ rjaàti^ni:it

Soit aloTb r„ un iHAUiiire t»u;#erîe«r * r - r - r^ et t«l ^ue, jjrttmr ;r I>/*4». J on ail

^Si\ lorbque x croit à punir ot r^ l' Lf*tf alité 4 ^*' ^aîif- /acte sur U rayon R^ le* in^^eiLir* S et /:• j *«r:«nl éralemenl bitlirfiutet- de niéine que l'éiriLlilé 5 - L en resuilem gue

Fot^^n^ jT = r. et *->it t, l«i laJeur que prend i surleruTonR au point ^^ de ïij^.*6ulf: r»- Nou* anrc^n*

I>êfc iof*- M Doa§ cLoid*'î4>n5 une valeur initiale r# satiiiaiâanl

a J'inéjiiiJil^

f/o c e^t un ofjfiibn: porîtif. le module de r. lorsque x s'èloîsnera tMir R, re«>tersi tfx/mpns entre le* limites

-*rr-

Sou^ ityoak ohXfmn cf^tU: double inégalité '^8) en supposant l'iné- $;alit^ ''4/' ^^^^ ffurU^m du point x^ avec une valeur initiale f^ vénihhi VifàAiç^iiU ^'^). A fortiori, on aura en j:, rînégalité i j'il>ajJl^tjf>j lorvpje ^ ik'éloi^e sur R. la double inégalité yS) ne (/^ut é^.^h^r d être vérifiée tant que l'inégalité (4 - est elle-même vé#ifié^, M;<fi^. réciproquement, tant que ji| est supérieur à c.

CROISSANCE ET ALLUBE D'VNB BRANCHE d'lNTÉGRALE. 4^

[\u\ satisfaisant à (3)], on a

donc l'inégalité (4) ne peut cesser d'être vérifiée avant l'inégalité (8). On en conclut que les inégalités (4) et (8) ne cessent, ni l'une ni l'autre, d'être vérifiées lorsque x s'éloigne sur R.

La persistance de la double inégalité (8) étant ainsi établie, nous pouvons résumer les résultats acquis et formuler les conclusions suivantes :

Appelant j^ une intégrale quelconque de l'équation (2), nous posons

(9) y=uç^ u = c*^^ **?

et nous considérons les [jl + i angles, ayant pour sopamet l'origine, où l'on a, à partir d'une certaine valeur de | j: | ,

j u I > c^l^l^^ {k nombre positif indépendant de or).

Dans l'un quelconque, A, de ces angles, nous prenons un point Xq dont le module est supérieur à certains nombres que nous av<>Qs définis; puis, lorsque x s'éloigne indéfiniment dans l'angle A à partir de Xq, nous considérons la branche d'intégrale y qui prend en Xq la valeur initiale yo= i^o'^C^o)-

Cela posé, nous avons démontré que, si i,e module de la valeur

iNrriALE ('o EST supérieur a e , la branche d intégrale (9}

A, dans l'angle A POUR 1^ I > To, UN MODULE VÉRIFIANT LA DOUBLE INÉGALITÉ

X et Xi étant des nombres positifs non nuls, indépendants de x.

Ainsi, il existe une infinité de branches d'intégrales de (2) qui, dans les [X -}- I angles que nous avons définis, se comportent comme des exponentielles. Ces branches ne présentent, dans les angles considérés, ni zéro, ni pôle, ni point singulier. Nous dirons que leur croissance est du type bkponejîtiel.

Les résultats que nous venons d'énoncer supposent, an s'en souvient, que le degré du polynôme bp est supérieur ou égal au degré du polynôme a^, en d'autres termes que [a^o. Si [jl était

44 CHAPITBE II.

négatif, il serait vain d'étudier, pour \x\ très grand, la croissance des branches d'intégrales de (2) : car, en général, ces branches ne croîtraient pas indéfiniment avec \a:\ (du moins lorsque p. << — i). En revanche, si l'on connaît une intégrale rationne fie Y de l'équation (2), on pourra parfois ramener le cas ix < o au cas [x^o. Faisons, en effet, sur l'équation (2) le changement de variable

L'équation diff'érentielle à laquelle satisfait s admet l'intégrale particulière 2^ = 0. Elle est donc de la forme

dx U-^...-r- Ip^il^i'-^'

On en conclut que l'équation à laquelle satisfait r\ est une équation rationnelle de la forme (2). Si dans cette équation la diff'érence [jl est positive ou nulle, nous pouvons appliquer notre théorème. Nous constatons que, dans les [jl 4- i angles définis plus haut, l'intégrale générale se rapproche indéfiniment (lorsque \x\ va en croissant) de l'intégrale rationnelle Y. Dans ces angles la différence^ — Y est comparable à l'exponentielle e~^^^^^^ , X' restant compris entre deux nombres positifs indépendants de x.

IL — Branches d'intégrales à croissance rationnelle.

Nous allons supposer maintenant que dans l'équation différentielle

les degrés p el q des polynômes p et r/ ne sont pas liés par la relation p — q = i.

A. Soit, en premier lieu, p — ^ < i, c'est-a-dire q=P' Dans cette hypothèse, les intégrales de l'équation (10) ne présentent aucun infini à distance finie. En effet, si l'on pose^' = z~*j z satisfait à une équation différentielle dont aucune intégrale (excepté l'intégrale particulière ^ = o) ne s'annule à distance finie. Je vais

CROISSANCE ET ALLUAE D^UNE BRANCHE d'iNTÉGRALE. 4^

démontrer que, lorsque | x \ augmente indéfiniment, une branche d^ intégrale quelconque de C équation (i) croit moins vite qu^une puissance finie de \x\.

Pour donner un sens précis à cet énoncé il faut définir la nature du chemin sur lequel x s'éloigne indéfiniment. J'appellerai dorénavant chemin direct (dans le plan de la variable x^ tout chemin dont la longueur est finie ou qui est transformé, par le changement de variable .r = i~*, en un chemin de longueur finie. Plus précisément, si x^ x' sont deux points quelconques d'un chemin di-

arc XX

rect L, je suppose que le rapport = est inférieur à un

corde 37 3?'

nombre donné k qui conservera une valeur fixe dans tous nos calculs.

Cette définition donnée, appelons o* un entier supérieur aux degrés de tous les polynômes a et 6. Je dis que, lorsque x s'éloigne

INDÉFINIMENT SUR UN CHEMIN DIRECT, TOUTE BRANCHE d'iNTÉGRALE DE (lO) SATISFAIT, A PARTIR d'uNE CERTAINE VALEUR DE J?, A l'iNÉ- G ALITÉ

Faisons d'abord une remarque préliminaire : il n*est pas possible qu'on ait, à partir d'une certaine valeur de\x\^ l'inégalité