II

Ijk I > I 37 |<r-^»^* (a>o)

en tout point d'un chemin direct L prolongé indéfiniment. En effet, soient />' et ^'les degrés (en:r) des polynômes éy,eta^,

et soient respectivement bp et aq les coefficients de xP' et j?^' dans ces polynômes. Quelque petit que soit e, on peut trouver un nombre /• tel que, pour | :r | > /• et | ^r | > | ^ j^, on ait

P{x,y) bpXP'yP

xP yP x*i' y'i

Dès lors, si x est extérieur au cercle S de rayon r qui a pour centre l'origine, l'inégalité (ii) entraîne, .pour une branche quelconque de (lo).

yQ-Py — ^ xP-t

Admettons qu'à partir d'un point Xq on ait l'inégalité (i i) tout le long d'un chemin direct L, sur lequel \x\ est croissant. Appelant ^ un point quelconque de ce chemin, nous aurons, si

k étant le nombre fixe qui figure dans la définition des chemins directs que nous avons donnée plus haut. Intégrons les deux

membres de (12) le long de l'arc x^x^ il viendra ( * )

— fl'+i

[.r(^)]^-^"''-[r(a:o)]y-P-n bj, arP'-^'-M -^ ^'-'''

( < eA:|;t?|'|ir — a?o |.

9—p-^^ ag p—q-\-i

D'après nos hypothèses, q — p -\- i est supérieur ou égal à i. D'autre part, p' — ^'+1 est inférieur à /?' + i , a fortiori à <t -|- i . Donc, lorsque \x\ croîtra indéfiniment, l'inégalité (i3) donnera

certainement, à partir d'une certaine valeur de \x\^

i^(x)i<iïr'-

quelque petit que soit le nombre positif e. D'où il faut conclure que l'hypothèse selon laquelle l'inégalité (11) serait satisfaite, à partir de Xqj sur toul le chemin L, est une hypothèse inadmissible. Quel que soit le nombre positif a, il existe sûrement sur L des points de modules arbitrairement grands où |jk| = |^|^*"*'"- Cette remarque faite, je démontre que, sur le chemin direct L

où I j: I est croissant, il ne saurait y avoir des points x arbitraire-

(^) On sait que, si l'on intègre une fonction /(a?) le long d'un chemin L quelconque, on a Finégaiité

f{x)dx\<r\f{x)dx\.

Je suppose, en écrivant i'inégalilé (i3), que [i = p' — q' n'est pas égal à — 1. La démonstration subsiste d'ailleurs lorsque \l = — i, à cela presque x^-*-v- — a7j+«*

est remplacé par log — •

Xq

CROISSANCE ET ALLURE D*UNE tRANCHE d'INTÉGRALE. 47

ment éloignés où l'on ait

('4) lrl>l^l^-^'.

Supposons, en effet, qu'il existe de tels points x. D'après la remarque précédente, on pourra toujours trouver sur L (si J j:| est assez grand) des points x^^ tels que r < | ^© | <; | ^ (, où l'on aura

Parmi ces points, appelons spécialement x^ le dernier rencontré avant d'arriver en x (lorsqu'on suit le chemin L en se dirigeant vers l'infini). Nous aurons, en x^^ [y© | = |-2?o l^*"^**? sur l'arc x^x de L, | j^| > | j?|^*"^°*. Dès lors, l'inégalité (i3) sera

vérifiée, comme plus haut, sur l'arc x^x. Posant/?' — ^'=P' et remplaçant \y^ \ par sa valeur, on aura

Étant donné que — ^ ^ <t H- i , il est clair que, lorsque

I X I dépasse un certain nombre, la dernière inégalité écrite est incompatible avec l'inégalité (i4)- On est donc conduit à une contradiction si l'on suppose l'inégalité (i4) vérifiée pour des

valeurs de |a:| arbitrairement grandes. Ce qui démontre le théorème énoncé.

B. Soit, en second lieu, p — (l^^ ov p — ^'^a. Dans cette hypothèse, les intégrales y de l'équation (lo) ont, en général, des infinis à distance finie. On ne peut donc plus, lorsque x s'éloigne indéfiniment sur un chemin direct quelconque, assigner une limite supérieure au module de y. Néanmoins, en nous inspirant de la théorie des fonctions méromorphes, nous obtiendrons quelques indications intéressantes sur la croissance des intégrales y.

Pour étudier ces intégrales, j'établirai deux lemmes préliminaires.

Lemme I. — Appelons xi un infini de V intégrale y^ <t un entier supérieur aux degrés de tous les polynômes a et b. Je dis que, si \ xt \ est supérieur à un certain nombre r, on peut

entourer xt d'un cercle ci jouissant des propriétés sui{^antes :

1° A V intérieur et sur le contour de c/, la branche dHntégrale infinie en xt a un module supérieur à |.r |<^*+*, a étant un nombre positif arbitrairement petit;

2° Sur le contour de c/, le même module est inférieur à I X |<^+*+P, p étant un nombre positif compris entre ol et i.

Au voisinage de xi^ on a l'inégalité (i i)

sur tout arc issu de Xi. Or nous avons vu qu'on peut trouver un nombre r tel que, pour | :r/| >► /*, ^inégalité (i i) entraine V inégalité (12). Intégrant cette inégalité le long d'un chemin direct, nous aurons, puisque q — /? -f- 1 <; o et [jk(^/)]^~^* = ^j

(x^-^v- — xy-^)

< tk(p — q—i) \xY'\x^Xi\^

OÙ 1^1^ est la plus grande valeur de \x\^ sur le chemin xix^ [x la différence des degrés p' et q\ et s un nombre qui sera arbitrairement petit si l'on a pris /• assez grand (•).

Autour de xi comme centre, traçons un cercle c/ de rayon

a' étant un nombre positif inférieur à i. L'exposant de \xi\ dans l'expression de sera négatif, puisque IulI^o", p — q — ! = !• Donc le rayon de c/ tendra vers zéro avec | ^/ 1~' .

D'ailleurs, si \xi\ est assez grand, nous aurons, en tout point du chemin xix intérieur à c/, les inégalités (^)

\x — Xi\{\xi\z^^)V-<

oci^^-x^;-^

<\x-Xi\{\Xi\±l^)\f',

\x-Xi\{\xi\zç p)l^< \xV'\\x — Xi\<\x - Xi\{\xi\-± p)H-,

( ^ ) Voir p. 46, note.

(^) Ces inégalités s'obtiennent aisément. D'une manière générale, posons

\x-x,\ = \XiY-H9 (P>o);

on a

^^.^£iZ =(x-x,)xJ.+ 'à^ e'" I ^, 1-^ + "^ - '^ f - ^^ e-" I x,l-'>+...1 ,

CROISSANCE ET ALLUBE d'uNE BRANCHE d'inTÉGRALE. 49

OÙ l'on devra prendre les signes supérieurs ou les signes inférieurs suivant que [jl >► o ou [x -< — i; et, d'autre part, étant donnée la valeur de p en fonction de xt^ on peut (quel que soit le nombre positif a''-<a') prendre r assez grand pour que l'on ait, lorsque I ^/ 1 > r,

(i -H £ A:) (/? — çr — i)p(| ar/ 1 ± p)!^< ( I ar/ 1 — p)-(<y-+-n-a")(/ï-ç-i), (i — £Â:) (/? — ^ — i)p(| 37/ 1 q= p )t^> (I ^,- 1 -+- p)-((T-hi-ha'+a*){/.-ç-i).

Interprétons alors l'inégalité (i5) en supposant r ainsi déterminé. Un calcul facile nous montrera que l'on a, en tout point de Ci^

(16) \y\-^P-q-^'> < I X |-(<JH-i-+-a")(p-ç-l)

et, sur le contour de c,,

Si l'on a pris a, a', a'' assez petits pour que

on conclura de ces deux dernières inégalités que le cercle ci satisfait bien aux conditions posées par l'énoncé du lemme.

Or, remontons le lil de notre démonstration. Nous venons d'établir que, lorsque x s'éloigne de xi dans c,-, aussi longtemps que l'inégalité (i i) est vérifiée, il en est de même des inégalités (i5), (16), (17). Je dis qu'aucune de ces inégalités ne peut cesser d'être vérifiée dans c/. En effet, supposons que l'inégalité (11), satisfaite sur l'arc XiX^ ^ cesse de l'être au point x* \ sur l'arc Xix\ on aura l'inégalité (i6), laquelle entraîne, a fortiori^

ta étant uo angle réel. Donc, si \x] est assez grand, le module du second membre sera sûrement compris entre les limites

et, a fortiori, entre les limites

\x- x,l[|a;,|^zF IV'-^l-^^ |a;,r-'p],

d'où Ton déduira les inégalités écrites.

5o CHAPITBE II.

l'inégalité (ii); donc celte dernière est nécessaii'^ment satisfaite sur un arc plus grand que xix^ . Le premier lemme est donc complètement démontré.

Nous avons supposé, tout à Theure, la valeur initiale y{xi) infinie. On voit sans peine que cette hypothèse n'est pas indispensable ; il suffirait de modifier légèrement les formules écrites pour appliquer la démonstration précédente au cas où, au point a?/, on a seulement l'inégalité

(i8) lr(^)l >l-^l'''^*^^' a^ec T>P-

Je puis donc énoncer le lemme suivant :

Lemme IL — Soit une branche (V intégrale y qui satisfait en un point x\ à V inégalité (18). 5/ |^^| est supérieur à un certain nombre r, on peut entourer x'^ cVun cercle c\ de rayon

p = I ir; |-(a-Hi-Ha'>(/>-?-i)-[x ( x' < p — a),

à V intérieur duquel \y\ est supérieur à |ic|<^*+«, et sur le contour duquel \y \ est inférieur à \ x |<ï+«+P (a <; P < y).

On en conclut de là que la branche y devient nécessairement infinie à l'intérieur de c\. En effet, lorsque \y\ croît depuis I J'(^i) I jusqu'à l'infini, le point x, variant à partir de x\^ ne peut sortir de c\\ il décrit un chemin / aboutissant en un point Xi intérieur à c'i. Traçons le cercle c/ relatif à ce point xi (en appliquant le premier lemme). Le chemin / sera tout entier contenu dans c/. Donc x\ est à l'intérieur de c/.

De ces divers résultats nous déduirons le théorème suivant :

Soit X un point quelconque extérieur aux cercles a décrits autour des infinis xi d^ une branche d^ intégrale y. Pourvu que \x\ dépasse un certain nombre fini r, la branche d^ intégrale considérée satisfait à V inégalité

En effet, d'après le second lemme, tout point x\ où cette inégalité n'est pas satisfaite est intérieur à un cercle c/.

Quelle est la portée du théorème que nous venons d'énoncer?

CROISSANCE ET ALLURB d'uNB BRANCHE d'iNTÉGRALE. 5i

11 est clair que ce théorème nje nous intéressera qu'autant qu'il existera des points x extérieurs à tous les cercles C/. Nous sommes ainsi conduits à étudier plus en détail les cercles a et leur distribution.

En premier lieu, je dis que la branche d^ intégrale qui est infinie en xi ne présente pas y à t* intérieur de ci^ d* autre infini que Xi,

Pour le démontrer en toute rigueur, nous introduirons dans l'équation (lo) un paranjètre variable \k ( copformément à la méthode exposée au Chap. I, § V).

Considérons l'équation

et faisons varier [jl de o à i. D'après notre premier lemme (*), la branche d'intégrale y^àe (19) qui est infinie en xi satisfait {quel que soit [x) à l'inégalité (16) dans C/ et à l'inégalité (17) sur le contour de Ci. D'ailleurs, aucun point de ci où y^ est fini ne peut être critique pour cette intégrale. En effet, nous supposons r assez grand (p. 45) pour que | ^ | >• r et |y | > | a: |^ entraînent

P(^,r) àp

:J- xP'-^'yP-^

< e I xP'-9' yp-q |.

Donc l'intégrale /^yt satisfait à cette ii^ég£^Uté dapis c,-. Dè^ lors, à l'intérieur de c/, Q(^j jK|i.) ne saurait s'annuler pour aucmie valseur finie de y^.

Nous concluons de là que les théorèn^çs du Chapitre I (§ V) sont applicables à l'intériçur et sur le contour de c/. Si, pour une valeur jjio de pt, J^i^ n'a qu'un infini dans c/, elle n'en aura çjicore qu'un pour les valeurs de [x voi^iij^es de [jlq. Or, nous savons que, lorsque [x est nul, l'intégrale y^ n'a dans çi qu'un infini Xi\ supposons que, pour j/. = i, elle en ait plusieurs; alors, il devra exister des valeurs [x' de [jl(o < | [x' | < pour lesquelles y^ .aura un ou plusieurs infinis sur le contour de c/; mais, d'après l'iné-

(') La valeur que nous avons assignée au rayon p de Cj ne dépend que des exposants />^ q, p' y q' y a; elle est donc indépendante de {jl.

gallté (17), cette circonstance ne peut se présenter; donc l'hypothèse faite est inadmissible.

D'ailleurs, d'après ce que nous venons de dire, la branche d^ intégrale infinie en xt ne présente aucun point critique dans Cij sauf peut-être au point xi lui-même. Le point Xi sera critique si /> — y ^ 3 ; il permutera p — q — i déterminations.

Des propriétés des cercles c/ que pouvons-nous conclure relativement à leur distribution dans le plan de la variable ^?

Si ^intégrale y qui est infinie aux points x^^ a?^, . . ., ^r/, . . . était une fonction uniforme de x^ nous pourrions affirmer que les cercles ci relatifs aux points xi seraient tous extérieurs les uns aux autres (du moins pour | ^/ 1 >> /•).

Appelons en effet ai un nombre positif inférieur au nombre a qui figure dans l'énoncé du premier lemme, et appliquons de nouveau ce lemme, en remplaçant a par a^, (3 par a : on peut entourer le point Xi d'un cercle c\ tel que l'on ait, dans ce cercle, IjK I > I ^ 1^"*"*"*""') et sur son contour |^ | <C | ^ |(rH+a. Le cercle c'i est concentrique au cercle c/, mais de rayon plus grand; comme c/, il ne contient d'autre infini de y que le point xi. Dès lors, si le cercle Cj relatif à Xj coupait le cercle c/, il couperait nécessairement le contour de c\ . Il y aurait donc un arc de c\ intérieur à Cj sur lequel on devrait avoir (premier lemme)

ce qui n'est pas possible, d'après la définition de c\ : on en conclut que les cercles c/ et Cj ne se coupent pas.

Les choses se passent autrement lorsque l'intégrale y est une fonction multiforme; il peut arriver alors que toute valeur de x soit intérieure à un ou plusieurs cercles c/. Mais nous pourrons néanmoins ramener ce cas au précédent, à condition de faire varier x non plus sur un plan, mais sur une surface de Riemann.

J'ai rappelé (p. 3i) qu'on peut toujours regarder j^ comme fonction uniforme d'un point mobile sur une surface de Riemann, surface formée de feuillets superposés sur lesquels on a tracé un certain nombre de fentes (coupures) et que relient entre eux des lignes de croisement menées suivant certaines coupures.

Si/? — y <; 3 les points xi sont, nous l'avons dit, des points ordinaires dej^ : on peut alors disposer des coupures de manière

CROISSANCE ET ALLURE d'UNE BRANCHE d'iNTÉGUALE. 53

qu'elles ne pénètrent pas dans les cercles c/. Si p — 7 = 3, p — q — I déterminations se permutent autour de xt] la surface de Riemann a, par suite, au voisinage de ^/, p — q — i feuillets reliés entre eux par des lignes de croisement issues de xt ; d'ailleurs, nous pouvons toujours disposer de ces lignes de croisement de manière qu'au voisinage de xi elles coïncident avec un même rayon du cercle c/. Dans l'un ou l'autre de ces deux cas, le raisonnement de la page précédente est applicable à la surface de Riemann. Il établit que, sur cette surface, les cercles ci relatifs aux points Xi sont tous extérieurs les uns aux autres (du moins pour \xi\>r).

Nous voici maintenant en état de tirer de la proposition de la page 5o toutes les conséquences qu'elle comporte.

Etant donnée une branche d'intégrale quelconque de l'équation (lo), regardons -la comme fonction uniforme d'un point variable sur une surface de Riemann. Sur cette surface il est

TOUJOURS POSSIBLE DE TRACER DES CHEMINS DIRECTS s'ÉLOIGNANT IN- DÉFINIMENT ET NE PÉNÉTRANT DANS AUCUN CERCLE Ci [il Suffit (^)

de faire passer les chemins entre les cercles c/]; en tout point de

CES CHEMINS, ON A, A PARTIR d'uNE CERTAINE VALEUR DE \ X \^ l'iNÉ- GALITÉ

OÙ 0- désigne un entier supérieur aux degrés de tous les coefficients a et b de l'équation (lo). La propriété, démontrée sur la surface de Riemann, subsiste d'ailleurs, bien entendu, si l'on regarde les chemins considérés comme des chemins plans.

En quoi ce résultat distingue-t-il l'équation (lo) de l'équation (2) étudiée au paragraphe précédent? Nous avons obtenu des intégrales de (2) qui croissent plus vite qu'une certaine exponentielle c^l*' "^^^ (si [JL>>o) quand :r s'éloigne indéfiniment dans certains angles A [d'ailleurs le rapport de l'aire totale des angles A à l'aire d'un demi-plan est un nombre (i — a) arbitrairement voisin de i] ; c'est pourquoi nous étions convenus de dire que la croissance des

(^) Oo partira d'une droite et Ton remplacera tout segment intérieur à un cercle c^ par le plus petit arc de c^ qui sous-tend ce segment. Le chemin ainsi obtenu sera sûrement direct.

54 GHAPITRR H.

intégrales de (2) est du type exponentiel. Au contraire, nous constatons que les intégrales de (10) croissent moins vite qu'une puissance finie de | :r ( lorsque x s'éloigne indéfiniment sur un chemin, qui est assujetti (si/? — y =2) à ne pas pénétrer datas certains cercles c,; d'ailleurs, lorsque les cercles c/ sont infiniment éloignés, leurs rayons deviennent infiniment petits, et il serait facile de démontrer que le rapport de l'aire totale des cercles d* à l'aire de la surface de Riemann sur laquelle ils sont tracés est égal à o. C'est pourquoi nous conviendrons de dire que la croissance des intégrales de (10) est du type raïionnel.

Nous obtenons ainsi une première indication sur les intégrales de l'équation (10); mais c'est une indication bien vague encore. Ainsi, nous avons trouvé une limite supérieure (*) du module d« y^ mais pas de limite inférieure. Il y aurait donc lieu de poursuivre l'étude que nous venons d'ébaucher," et peut-être conviendrait-il, pour la pousser plus avant, de particulariser le problème. On ferait certainement œuvre utile en entreprenant une série d'éttid^s monographiques sur l'allure des intégrales des divers types simples d'équations (i). On obtiendrait ainsi de précieux renseignements sur la nature des fonctions qui satisfont à ces équations et sur les complications qui s'introduisent lorsqu'on élève les degrés des coefficients. C'est ce dont nous allons nous rendre compte en traitant ici même quelques-uns des cas les plus simples.