III. -— L équation y 4- Aq-I- A^y -|- AajK'-f- ^3^^= o

Pretiiier exemple.

Considérons l'équation

(20) y-t- Ao-+-At^-4- A',^«-+-As^«=i=o,

(^) C'est dans 1« cas où ies bi^nciies d'intégrales^ augmentent indéfiniment ( quand 0? s'éloigne vers l'infini sur certains chemins directs) qu'il est intéressant de connaître une limite supérieure de \y\' Si les branches^, au lieu de tendre vers rinfini, tendaient vers une valeur finie A, on pourrait leur appliquer les résih^ltats des pages précédentes, à coYidition de faire ie changement de variable y — A =^-^ On verrait alors que r- croit moins vite que | a:|*+^

CROISSANCE KT ALLURE d'uNE BRANCHE D'iNTÉGRALE. 55

OÙ les A sont des polynômes en x. Pour étudier en détail la croissance des intégrales de celte équation, il y aurait lieu de distinguer un grand nombre de cas et de sous^eas :

I. Supposons d'abord que Ao= A, = o, et soient rrix et m^ les degrés des polynômes Aa et A3. Les intégrales de l'équation

(21) y -+- A2jK*-i- A3y»= o

ou de l'équation transformée

sont, au point d^e vue de la croissance, du type rationnel. Admettons a priori (ce qu'il faudra ensuite vérifier) que les intégrales 3 deviennent infinies comme une puissance déterminée ^r*^ de 2, et cherchons quelle devra être, dans cette hypothèse, la valeur de t. Les termes zz^ ^ Aa^s, A3 deviendront respectivement infinis comme x^'^~^ ^ x^i^^ x^t. Puisque ces termes doivent se détruire, il faut que deux des trois quantités 2t — i, /Wa + T, m^ soient égales entre elles et supérieures ou égales à la troisième. D'où les cas suivants :

1. aT — I = ms > /n2-4- T. Ce cas se présentera si ma > a mj h- 1.