msH-T :»= m3 > 2T — I

4. 2T — I s= 7W3 = TWjH- T. Ce cas se préseotera si »*3 = im%-{- 1.

Il y aura lieu, si l'on entreprend une étude complète de l'équation (21), de considérer séparément ces difl'érents cas et peut-être de les subdiviser.

IL Supposons en second lieu que Ao=o, Ai^o. Le degré de A< étant positif ou nul, les intégrales de l'équation transformée

y=zz—^, zV = Aiz'-f- Aj-s -h A3

seront du type exponentiel. On pourra leur appliquer les résultats obtenus au premier paragraphe de ce Chapitre.

III. Supposons enfin que A© ne soit pas identiquement nul. Les intégrales de (20) seront alors du type rationnel. Mais il est à

prévoir que la croissance de ces intégrales offrira plus de complications que celle des intég^les de l'équation (21). Les circonstances les plus diverses pourront se présenter dans ce cas.

La discussion complète de la croissance des intégrales de Téquation (20) serait, on le voit, longue et laborieuse. Je me bornerai à l'étude de l'équation l'ai), en supposant d'abord /ii3>2m2+i, puis m%<i 2/712 4- I . Je vais calculer, dans ces deux cas, non plus seulement une limite supérieure, mais une valeur approchée des branches d^ intégrales en un point quelconque du plan des X,

Premier exemple. — Allure des branches dHntégrales de V équation

(22) -3^'= Aî>3-|- A3

lorsque les degrés 7/12 et m^ de Aj et As satisfont à ^inégalité /W3 >> 2/W2+ I, c'est-à-dire m^^ 2/712-1-2.

Posant z = v^s, nous pouvons encore écrire l'équation (22) sous la forme

Nous tracerons autour de l'origine un cercle S ayant un grand rayon /• (la valeur de /' sera déterminée par diverses conditions énoncées au cours de la démonstration), et nous considérerons une branche d'intégrale z qui admette pour point critique un point X\ de module supérieur à r.

Soit — le coefficient de x"^^ dans A3. Nous choisirons /• de manière

que l'on ait, lorsque (^|>r,

(24) \1ki''a^x^^\<\x\"'^-^^-, \iki\<\x\ '^|a7|* *,

et, lorsque |;r |£r,

(25) I2A3— a3a7'«i| < /"«j-J-»-6, |2Aî|£r^ *,

e étant un nombre qui sera arbitrairement petit avec -• Suivons alors Ç à partir de ^r^ .

CROISSANCE ET ALLURE d'UNE BRANCHE d'iNTÉGRALB. 67

1. Au point J7i, z = \/^ est nul. A partir de Xt , faisons croître X indéfiniment sur un chemin 'direct L. Tant que l'on e sur L l'inégalité

on a, d'après (aS ) et (24),

et par suite, en intégrant,

ntt ---4-e

k étant le nombre fini qui figure dans la définition des chemins directs (p. 45). Il est clair que, si l'on a pris assez grand le rayon /• de S, l'inégalité (27) entraînera a ybr ^10 r* l'inégalité (26), quelque grand que soit|:c|. Un raisonnement auquel nous avons déjà eu deux fois recours (') prouve alors que l'inégalité (27) ne cesse pas d'être satisfaite lorsque x s'éloigne indéfiniment sur le chemin L.

2. Faisons maintenant décroître x à partir de Xk sur un chemin direct L intérieur au cercle S. qui a pour centre l'origine et pour rayon \x^ |. Tant que l'on a sur L l'inégalité

(28) ici<i^ir>^*-^s

on a

K'— «3ar"'3|<2|.Tir' * ,

et, en intégrant.

Tix) — (x^v^^ — X^^^^\

<'xk\x^\ * .

Or, si r est assez grand, l'inégalité (29) entraîne a fortiori l'inégalité (28) lorsque \x\> r. On en conclut que l'inégalité (29) ne cesse pas d'être vérifiée sur le chemin L, à l'intérieur de S.

( ' ) Voir p. 42 et 49-

Nous interpréterons les deux inégalités (28) et (29; en énonçant la proposition suivante :

Quelque petit que soit 8, on peut trouver un nombre r tel que la branche d'intégrale Ç, qui s'annule en un point critique x^ de module supérieur à r, soit donnée sur tout chemin direct croissant issu de Xt par l'égalité

(3o) Ç= — f^(n-Y)ar'«,-Hi fî-arî^'-^-S \à Vi\<^,

et sur tout chemin intérieur à S par V égalité (* )

3. Les égalités (3o) et (3i) nous donnent, pour toute valeur de x, une valeur approchée de la branche d'intégrale Ç de (23).

Pour caractériser cette branche avec précision, nous allons encore nous demander où elle présente des points critiques pouvant la permuter avec d'autres branches.

Je désignerai dorénavant par le mol caractéristique une branche d'intégrale suivie, à partir d'un point et d'une valeur initiale donnée, le long d'un chemin rectiligne. Parlons, par exemple, du point Xq avec la valeur Ço = ^o d^fii^ic tout à l'heure et suivons l'intégrale ^ le long d'une droite issue de ^o* Lorsque cette droite tourne autour de Xq et balaye le plan des x^ nous obtenons ce que j'appellerai l'ensemble des caractéristiques issues de Xq avec la valeur initiale Çq. Demandons-nous combien nous rencontrerons de points critiques sur cet ensemble de caractéristiques.

En tout point critique, Ç est nul. Or, il résulte des égalités (3o) et (3i) que les caractéristiques Ç ne sauraient s'annuler qu'au voisinage des (/Wa-f- 1) racines de l'équation algébrique

Soit Xi l'une de ces racines. Entourons-la d'un cercle c de rayon p = | â?^ p~P, ^ étant un nombre positif quelconque inférieur

(^) D'après cette égalité, la valeur de la branche L à Torigine croit indéfiniment lorsque Xi tend vers Tinfini.