CROISSANCE ET ALLURE D'UNE BRANCHE D INTÉGRALE

à y. Je dis que, dans le cercle c, V ensemble des cantcté ris tiques considérées présente tin point critique et un seul.

En effet, pour | a? — ^i | =i= p, on a ( ' ) (si r est asse* grand)

limite supéri'etïfè qui (d'après la valeur de p) sfera elte^iflênïe supérieure à (/W3H-i)| j?i !'»»+< ^M', où s' est arbitradt^ftient petit isi \x^ \ est assez grand. D'aulfe part, la branche d'intégfale que je ctonsidère satisfait, dans c, à l'inégalité (3ô) ou (3t); pour obteuir sa valeur sur le contour de c, je ii'ai qu'à partir de x^ et à me rendre en ligne droite à ce contour. En tout point du chemin ainsi suivi,

\x\ reste compris entre - — ^ et — L-iJ : il résulte alors de (2^)

et (29) que les y et y' des égalités (3o) et (3i) ont des modules

inférieurs à | a^i | * . On en conclura (puisque P <[ - ) que, si r

est assez grand, les termes en y et v' sont négligeables dans (3o) et (3i) sur le contour de c; pair conséquent, ^ satisfait sur ce contour à l'inégalité

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2 ( ma -+- 1 )

et ne peut s'y annuler.

Le résultat que noas obtenons ainsi en étudiant l'équation (23), nous l'aurions aussi bien obtenu si nous avions considéré l'équation

o^ ]jL a une valeur quelconqi9« comprise €Btre o et 1 . Or, pomr JA 2±r o, l'intégrale s qui prend «a x,^ la valeur !^ a un zéro €t «n seial à l'intérieur de c. On en liédciil (en raisonnant comme à la page 5i) qu'il en est encore ainsi pour [x = i . c. q. f. d.

D'ioù cette conclusion : l'ensetrtble des caractéristiques issues de a^o ^^cc ta rmleur Ç© présente m^ H- 1 points critiques^ a?!, ..., x^^^^y^^ respectivement ix)i»ins (d'autant plus voisins qu?e le module initial \^o\ ^^ p^ grand) des racines de V équation

(») Cf.'f\'n% hMt, jwigre 48, tf6te 2.

6o CHAPITRE II.

^/i»,+i - jjm,+i Supposons que nous menions des coupures joignant à rinfini les points x^, . . ., x^^+i : si nous assujettissons x à ne pas franchir ces coupures, l'ensemble des caractéristiques considérées constitue une branche d'intégrale uni/orme dans tout le plan. Nous avons calculé une valeur approchée d'une telle branche en tout point du plan; nous avons déterminé le nombre et la situation approximative de ses points critiques : il restera à examiner par quel mécanisme on peut de cette branche déduire successivement toutes les autres branches d'une même intégrale. C'est là une question dont nous nous occuperons ultérieurement.