IV. — Deuxième exemple

Allure des branches d'intégrales de V équation

(22) zz' =■ k^Z -t- A3

lorsque les degrés m2 et m^ de A2 et A3 satisfont à Vinégalité m^ <C 2 m2 -f- i ou m^ ^ 2 m^*

Posant

nous pouvons écrire l'équation (22) sous la forme

OÙ P est de degré m^-k- i . Soient, respectivement, ax^t et bx^f^^ les termes de plus haut degré dans les polynômes A3 et P. La valeur des coefficients a et è étant sans influence sur les calculs que nous allons faire, je supposerai, pour simplifier l'écriture, que a = è = I.

Considérons un cercle S de centre o dont le rayon r sera déterminé par diverses conditions posées au cours de la démonstration. Nous allons étudier la branche d' intégrale 6 qui, en un point donné Xq extérieur à S, prend une valeur initiale que je désignerai par C'"*"*"* et que je supposerai plus grande que 2r'"«"*"^

Nous choisirons r assez grand pour que l'on ait, en tout point x

CROISSANCE ET ALLURE d'UNE BRANCHE d'INTEGRALB. &f

extérieur à S,

et, à rintérieur de S,

I P |< (i -+- r""^) /"«.-+-Î, J A, I < (i -h r" 2 ) r'«». Suivons alors 9 à partir de Xq,

i. En premier lieu, je considérerai la branche 9 à lUnterieur d'un cercle S ayant pour centre l'origine et pour rayon

8(m,-Hl)

L'équation algébrique

a TWaH-i racines qui, si r est assez grand, sont respectivemeni très voisines des /Wa H- 1 zéros de œ"^*^^ + C'"»"'"* . Entourons chacun

de ces zéros d'un cercle c de rayon p = 2r ^|C|. A l'extérieur des cercles c et de S, on aura (quand r sera assez grand)

I p ^ C'«a-»-i I > I iF'««-+-* -f- C'"3-^* I — r ^\x |'»t-fr-i

et(<)

D'autre part, x étant intérieur à S,

On conclut aisément de là que l'on peut toujours prendre r assez grand pour que l'on ait, lorsque x est compris entre S et S

et extérieur aux cercles c,

( * ) Voir page 48, note 2.

64 CHAtmE II. — caoii0A9ce kt aixitbb d'ctis bkahche D'crTccftAuc.

régalilé

oti l'on a

si r est assez grand.

En résumé, les formules (36^ et (Sg) donnent (•), sur tout chemin direct croissant ou décroissant et extérieur aux cercles c, une valeur approchée de la branche d'intégrale z issue de x^ avec la valeur initiale P + 0«, La branche considérée ne peut présenter des points critiques qu'à l'intérieur des cercles c.

(*) Le module de la branche d^intégrale z devient infini (avec \x\) comme I a 1'^$'*'^. Nous nou» trouvons donc en présence du troisième des quatre cas distingués à la page 55, savoir : 2t — 1 = m^-i-T > m,. Quand donc se présentera le quatrième cas (m^+r = m^> 2t — i) qui, comme le troisième, doit se rencontrer pour m, < 2 m^+i? En poursuivant l'élude de l'équation (22), on répondrait sans peine à cette question. Considérons la droite joignant à Tinfini un point critique or,, et suivons sur cette droite les deux caractéristiques issues de iVi Avec la valeur critique o. De ces deux caractéristiques,' Tune seulement devient infinie comme | x^ |"*s'*'' : c'est de celle-là que nous venons d'étudier la croissance. Si nous voulions être complets, nous devrions encore étudier la seconde caractéristique et nous nous trouverions alors en présence du quatrième cas : mjH- T = m,>2T — 1.

Nous avons déjà établi des distinctions entre les points singuliers de l'équation

dx Q{x,y)

où P et Q sont des polynômes en y. Parmi ces points singuliers, les uns sont algébriques et mobiles [c'est-à-dire varient avec la valeur initiale jko ^^^ prend une intégrale quelconque de l'équation (i) en un point Xq]^ les autres sont fixes et, en général, transcendants. C'est sur ces derniers points que nous allons, dans ce Chapitre, fixer notre attention.

Les points singuliers transcendants sont, pour M. Painlevé, de deux sortes : ou bien la fonction qui présente en un point X une singularité transcendante devient indéterminée lorsque la variable x tend vers X sur un chemin quelconque; ou bien cette fonction tend vers une valeur déterminée Y. Dans le premier cas, le point X

est dit point singulier essentiel : tel est le point x = o pour la

fonction e^. Dans le second cas, le point singulier est appelé point transcendant ordinaire : exemple, l'origine pour la fonction log^F, qui, en ce point, a une valeur déterminée égale à l'infini ( * ).

Nous allons nous placer ici à un autre point de vue, et donner des points transcendants une classification un peu différente.

Nous savons qu'au voisinage d'un point singulier transcendant X il s'opère, en général, une infinité de permutations. Voici, d'une façon précise, ce qu'il faut entendre par là. Considérons un

(^) Au sujet de ces définitions, on coasultera avec profit la Notice sur les travaux scientifiques de M. Painlevé. Gauthier-Viilars, 1900.

point X voisin de X et Tensemble des valeurs y que prend au

point X la fonction jk(^)' Soit, d'autre part, y un cercle de rayon

arbitrairement petit entourant le point X et x% une droite (ou

ligne) joignant a? à un point du contour y. Nous supposerons

que X décrive un lacet L ainsi composé : le segmenta a, puis un

chemin fermé quelconque intérieur à y, puis le segment tf,x. Si,

partant avec une valeur initiale^! (prise dans l'ensemble^) et décrivant tous les lacets L possibles, nous revenons avec diverses

valeurs y^^ jks? •••? nous dirons que l'ensemble dés valeurs y^^ jk2>

j^3, . . . (ensemble partiel de l'ensemble y) se permutent à l'intérieur de y. Au cas où, quelque petit que soit le cercle y, il existe

un ensemble partiel infini de valeurs^ se permutant dans y, nous dirons qu'une infinité de déterminations se permutent au voisinage de la singularité X.

Cela étant, on peut chercher à classer les points singuliers transcendants d'après les propriétés, plus ou moins compliquées, des systèmes de permutations qui s'opèrent en leur voisinage; on s'efforcera, dans chaque cas, de mettre à nu le mécanisme suivant

lequel une infinité de déterminations y s'échangent entre elles lorsque x décrit tous les lacets L imaginables. C'est une classification de cette nature qui sera tentée dans ce Chapitre. Ici encore, force m'est de me contenter d'un aperçu : je signalerai seulement quelques cas simples que j'illustrerai par des exemples.