I. — Points directement et indirectement critiques
Quelques remarques préliminaires sont ici nécessaires.
Un point transcendant isolé X peut être directement critique ou indirectement critique; il peut aussi être à la fois directement et indirectement critique.
Pour distinguer ces cas, rappelons-nous qu'un lacet L quelconque peut être décomposé en une somme de lacets élémentaires (*) successifs, formés, chacun, d'un chemin issu de x par-
(*) Les lacets éléineataires seront toujours supposés ne pas s'enrouler une infinité de fois autour du point X.
couru deux fois, et d'une boucle infiniment petite décrite autour d'un point critique unique.
Supposons alors qu'il existe en x une infinité de déterminations y^^ jK2î • • • qui s'échangent entre elles le long d'un lacet élémentaire décrit autour du point X proprement dit : en ce cas nous regarderons ce point comme directement critique. Ainsi l'origine est un point transcendant directement critique pour la fonction log^r, et, lorsque X est irrationnel, pour la fonction x^\
Supposons maintenant qu'une infinité de déterminations de la fonction s'échangent entre elles lorsqu'on décrit une série de lacets élémentaires, non plus autour du point X lui-même, mais autour d'un ensemble de points convergeant (*) vers X ; nous dirons alors que X est un point transcendant indirectement critique.
Afin d'éclairer tout de suite cette définition par un exemple, considérons l'équation différentielle
dz
Pour intégrer cette équation, il suffit de poser -3 = ;rfv. Soient fVi -et (Va les deux racines de — i{v^-\-^w -\- ^=^ o. Nous aurons
dw
^t un calcul facile nous donnera l'intégrale générale
z=zxwy GiF = (w — Wi)^\{w — (^2)^» (G = const. arbitraire),
ou
Al = — 2 H ^—i Xî =i — 2 H- ^
IWx iWf
Si l'on remarque que çv<-|-«'2= -' on voit que X< et X2 sont liés par la relation
Al Aj
(*) Les points critiques qui convergent vers X sont des points critiques algébriques, puisque nous avons supposé que la singularité transcendante X était isolée.
Dès lors, l'intégrale générale de l'équation (2) se laisse mettre sous la forme
(3) z=iwx, Gir= ( ) •
Nous allons supposer que \\ et Ào sont des nombres complexes (quelconques) dont la partie réelle est négative, 11 en est alors de
même de t-» s— • tious admettrons, pour fixer les idées, que la
