partie réelle S\.Çk^) est inférieure à «^(Xj) et, par suite, à

D'après l'égalité (3), l'intégrale z de l'équation (2) prend à l'origine un ensemble infini de valeurs finies pour lesquelles w est infini, savoir les valeurs

Les branches d'intégrales correspondant à ces diverses déterminations sont d'ailleurs toutes holomorphes à l'origine, puisque^ d'après le théorème de Cauchy, toute intégrale de (2) non nulle à l'origine y est holomorphe.

Quels sont maintenant les points critiques de l'intégrale 5? Ce

$ont les points

(4) Ca.^-±(^f

où cette intégrale s'annule. Chacun d'eux permute deux déterminations. Si l'on désigne par Xq l'un de ces points, les autres seront

2/7r 2f TC 2 fie

Admettons, pour fixer les idées, que dans r- ^^ coefficient

de ^' — I soit positif. Alors, tandis que les points ^<, iC 2, ... s'éloignent indéfiniment, les points x^^ x^j ... convergent vers l'origine. L'origine, qui n'est pas directement critique, est donc point-limite de points critiques : d'après notre définition, elle est un point transcendant indirectement critique.

Allons plus loin et demandons-nous quelles déterminations de zse permutent autour des points o^i , 5?o, ....

Partons de rorigine avec une détermination

et éloignons-nous (Jig» 2) sur un rayon O y qui ne passe par aucun point critique Xi, Lorsque x croît indéfiniment sur une droite, la fonction w tend, d'après (3), vers l'une des valeurs fv^, «^2 • nous choisirons Oq de manière que la limite de w soit w^ sur ce rayon. Arrêtons-nous sur Oq en un point q^ assez éloigné pour que «'(5^4)

ait une valeur w arbitrairement voisine de fv<. Puis, dans le plan de la variable fv, faisons décrire un cercle à cette variable autour du point w = iVi] pendant ce temps, a: décrit une courbe q^ q^ joignant le point qs au point

A partir de q^ considérons dans le plan des x le rayon 5^2 0,

transformé du rayon ^4 par le changement de variable x' '=xe ^' , et suivons w sur ce chemin. Etant donné que ^(5^4) est égal à «^(5^2)? il résulte de l'égalité (3) que w a des valeurs égales en

un point quelconque du rayon q^ O et au point correspondant du rayon transformé 5^2 0* Nous aurons donc, en appelant xf un point quelconque de q^O^

a/TC 2/7C

lim a?'tv(a7') = e ^1 lim a? «'(a?) = e-^i G"*.

Conclusion : Lorsque x décrit le chemin fermé 0^15^20, la détermination C~* de -z à l'origine se permute avec la détermina-

tion Çr^ e ^» . Or il n'y a qu'un point critique, ^q, dans l'angle

q\ Oq2 .' car, lorsque .r se meut dans cet angle à partir d'un point critique, il n'est pas possible que, w repasse une seconde fois par la valeur critique O après avoir tourné autour de Wt ou (V2. Nous devons donc conclure que, si nous décrivons à partir de l'origine un lacet élémentaire /autour de Xq {^fig' 2), ce lacet permute les deux

l/TÇ

déterminations G~* et C~*^ ^» .

On vérifierait de même qu'un lacet décrit autour du

point jc, = ^oe^* permute les deux déterminations C~* e ^* et

C~*e^«, etc. Le mécanisme des permutations opérées autour des points xi nous est ainsi entièrement connu.

Dans le cas le plus général, le point singulier transcendant X sera à la fois directehient critique et point-limite d'un ensemble de points critiques algébriques; X pourra être alors indirectement en même temps que directement critique. Toutefois, il n'y aura lieu de le regarder comme indirectement critique qu'au cas où une infinité de déterminations se permutent eff'ectivement entre elles lorsqu'on tourne autour des points critiques qui convergent vers X, sans tourner autour du point X proprement dit. Or, il n'en est pas toujours ainsi, comme nous l'allons vérifier en nous arrêtant de nouveau sur un exemple.

Reprenons l'équalion (2), dont l'intégrale générale a été mise sous la forme

( 3 ) >S = WX. \lx =. ( ) y

et supposons que ^ soit un nombre complexe quelconque ayant

une partie réelle positive, comprise par exemple entre i et 2,

D'après l'égalité (3) l'intégrale z de l'équation (2) prend à l'origine une double série de valeurs :

1" Les valeurs

liTZ Î/TC

les branches d'intégrales correspondant à ces valeurs sont toutes holomorphes à l'origine.

2" Un ensemble de valeurs nulles (pour lesquelles çv^ = pp, ) ; les déterminations correspondantes se permutent entre elles autour de l'origine, qui est, par suite, un point transcendant directement critique.

L'intégrale z admet d'autre part un ensemble de points critiques algébriques, qui sont, comme plus haut, les points Xq, :r<, ... définis par l'égalité (4).

Parmi les points critiques, il en est nécessairement qui permutent les déterminations nulles à l'origine avec les déterminations non nulles. Nous appellerons Xq l'un d'eux. Si nous suivons alors le rayon XqO en quittant Xq avec l'une ou l'autre des deux déterminations nulles qui se confondent en ce point, nous obtiendrons deux caractéristiques (*), dont l'une nulle à l'origine, l'autre non nulle et égale à une quantité que nous appellerons C~^

Considérons maintenant le rayon Ox^ transformé du rayon Oxq

par le changement de variable x'=xe ^' . Si en deux points correspondants de Oxi et Oo^o la fonction w prend des valeurs égales, elle aura la même valeur pour tout couple de points correspondants de ces rayons. Suivons alors le long de Xi O les deux caractéristiques qui s'annulent au point critique Xi. De ces deux caractéristiques, l'une est nulle à l'origine, l'autre tend vers une valeur telle que

lim a: w{x') = G-*,*

jf=0

et, par suite.

z{o) Vim x' w(x ) C-*e ^1 ,

On raisonnera de même sur j:2î^3'» ••• et l'on arrivera aux conclusions suivantes :

: Quand, à partir de l'origine, on décrit, autour des points a?o, ^< , X2f ... des lacets tels que / (fig' 2), le point Xq permute une détermination nulle avec la détermination C~* ; le point :ri permute

(^) Je rappelle que j'entends par caractéristique une branche d^intégrale suivie le long d'un chemin reciiligne à partir d'une valeur initiale donnée.

72 CHAPITBE III.

les déterminations o, C~*e ^i ; d'une manière générale, le point xj

permute les déterminations o et C~* ^ '« .

Pour mieux comprendre le mécanisme des permutations, joignons l'origine à un point x par un chemin invariable ne passant

par aucun point critique, et considérons en x les déterminations de z qui correspondent aux déterminations que nous venons d'étudier à l'origine. Nous surmonterons d'une barre les déterminations de z( x) qui s'annulent à l'origine, de deux barres celles qui ne s'y annulent pas. Ainsi Xo permutera Zq avec Zo, x^ permutera 5| avec Zi. Je dis que, si la partie réelle ^(r-j est comprise

entre i et 2, les deux déterminations Zo(x), z^i x) sont différentes.

En effet, prenons x sur le rajon Oxq, D'après ce que nous savons des caractéristiques suivies le long des rayons Ox^, Ox^^ on aura

Partons alors de x avec la détermination Zq{x), parcourons le contour du cercle de centre O et de rayon |^|. Pour que nous

iiTZ

arrivions au point xe ^-^ avec la détermination z^, il faut que la variable (v( = -) ait décrit, dans son plan, un tour complet de (V^;

il faut par suite d'après l'égalité (3) et étant donnée la valeur de ^(%~) que «37 ait décrit autour de l'origine un arc égal

à 2 7t-}- arc ;ro.r|. Il en résulte que les déterminations Zo{x)

et Zi\x) sont différentes et se permutent entre elles lorsque x tourne une fois autour de l'origine. En résumé, les déterminations

de l'intégrale z au point x seront données par le Tableau suivant :

.., ^—1, Zqj Zi, z%^ ...,

.., ^—1, xqj X\j a7j, ••.»

. . ., Z—i, Zoy Z\^ >5î,

La première ligne contient les déterminations qui s'annulent pour

37 = o et se permutent autour de l'origine; la dernière ligne con*

tient les déterminations qui ne s'annulent pas pour :r = o ; de

plus, chaque détermination Zj se permute avec la détermination

correspondante Zj autour du point critique Xj inscrit au-dessus d'elle dans la seconde ligne.

Tandis que les déterminations Zj se permutent directement entre

elles, on ne peut permuter une détermination Zj avec une détermination Zff qu'en remontant de Zj à sy, tournant autour de l'origine et redescendant de Zh à Zk^ En d'autres termes, pour engendrer une infinité de déterminations de z^ on doit tourner une infinité de fois autour de l'origine proprement dite; si, à un moment donné, on tourne autour de Xj (le long d'un lacet Z), on est acculé à une impasse : on ne peut obtenir des déterminations nouvelles qu'à condition de revenir sur ses pas en tournant une seconde fois autour de Xj, Pour cette raison, nous ne devons pas regarder l'origine comme un point transcendant indirectement critique.

J'ai supposé (pour me placer dans le cas où le mécanisme des permutations de l'intégrale z se laisse le plus simplement figurer)

que la partie réelle de r- était comprise entre i et 2. Si cette partie

réelle était comprise entre o et i , plusieurs déterminations Zj correspondraient à une même détermination zy ; si elle était supérieure à 2, plusieurs déterminations Zj correspondraient à une même

détermination zy; mais, dans un cas comme dans l'autre, on ne pourrait obtenir une infinité de déterminations nouvelles qu'en tournant une infinité de fois autour de l'origine.