U ordre de succession des permutations

Premiers exemples.

Comment poursuivre l'étude des points critiques transcendants? Nous inspirant des remarques faites au Chapitre I (§ IV), nous allons porter notre attention sur les deux ensembles dont la nature caractérise une fonction multiforme au voisinage d'une singularité transcendante X : ensemble des points critiques x^^ ^2, ... con-

7l fMAmUE Iff.

v#?rgr;anl %frr§ X; ensemïfU' des rlélerm îna lions l'i- i'^. ... engen-

De itth Hnhftm\}\fA nous ne savons rien jusqu'ici, sinon cpi'ils .%ont dénombrahle» ^p. /^i }. A part cela, il esl probable qu'ils sont quelconques, Mai<> sans doute il existe certains cas privilégiés où il<j »e simplifient. Peul-étre pourrions-nous rechercher ces cas et le<l chssf^r diaprés leur plus ou moins grande complexité.

Si nou« considérons les déterminations ^|, ^j, ..., nous remarquons qu'il y a en général entre elles un ordre de succession. Supposons, en efTet, que nous partions d'un point x avec la

détermination yi et que nous décrivions une série de lacets élémentaires autour de X ou de points convergeant vers X (p, 67).

Pour passer de la détermination y^ à une détermination quelconque yi^ il ne suffit pas en général de décrire un seul lacet élémentaire : il faut en décrire plusieurs, permutant d'abord y^ avec j'^j, puis yj^ avec yj^^ et ainsi de suite jusqu'à yi. Ainsi, les

déterminations jy,, y^^^ ... se trouvent rangées dans un ordre déterminé.

C'est ce qui ressort clairement des exemples donnés au paragraphe précédent. Reportons-nous à l'intégrale générale

(J) Z = WX, Cx = ( '] y

W — Wi\W — Wj /

dann l'Iiypothèse où \^ est un nombre complexe à partie réelle négative. D'après ce que nous avons vu, les déterminations de z sont à l'origine

2 lie

(!l on les déduit les unes des autres en tournant successivement autour des points critiques appelés ^4, ^21 Ainsi, les déterminations de l'intégrale -3 jouissent de cette propriété remarquable qu'on peut les ranger suivant une série unilinéaire (en les affectant respectivement des indices o, i, 2, . . .) dans Tordre même où elles se permutent entre elles.

Analjrsons d'un peu plus près cette propriété en la présentant sous une forme différente.

CLASSIFICATION DES POINTS SINGULIKRS TRANSCENDANTS. y5

Par chacun des points critiques xj^ menons une coupure rectiligne, qui sera par exemple le prolongement du rayon O J?y, limité par le point xj et par l'infini. Nous appellerons cette coupure coupure xj. Tourner autour d'un point critique équivaut à franchir la coupure correspondante. Plus précisément, décrivons à partir de l'origine un lacet fermé traversant une seule fois la coupure Xj et ne rencontrant aucune autre coupure (cf. p. 3i) : ce lacet permute les déterminations Zj{o) et zj^t (o), et il ne permute aucun autre couple de déterminations. Nous appellerons iaceC xj tout lacet ainsi défini, et permutation xj la permutation correspondante. Il résulte de ce qui précède qu'une détermination quelconque zj ne sera permutée avec d'autres que par deux lacets, le lacet Xj i et le lacet xj. Grâce à cette circonstance, nous allons pouvoir rendre la fonction z uniforme en la représentant sur une surface de Riemann, dont la structure est particulièrement simple.

Considérons une suite dénombrable de feuillets plans superposés ..., J*"-!, J^O) «^M •••? ces feuillets étant aftectés des indices . . ., — i , o, i , ... dans l'ordre même où ils se succèdent. Puis relions chaque feuillet avec le précédent par une ligne de croisement placée entre Sj i et Sj suivant la coupure xj i, entre Sj et J^y+i suivant la coupure xj* Nous formons ainsi une surface de Riemann S : je dis que z est uniforme sur cette surface.

Considérons, en effet, sur le feuillet Sj la détermination zj qui