TC

est égale à C~*e ^» à l'origine. Nous a^ons vu que cette détermination ne pouvait être altérée que par deux permutations, les permutations Xj i et xj. Dès lors, quand x se meut librement dans le feuillet J^y sans franchir les deux lignes de croisement situées dans ce feuillet, zj reste uniforme. Si l'on franchit la coupure Xj^ on passe dans le feuillet '^j+i-, et zj devient -sy.,., . Comme on a raisonné sur Zj, on raisonnera sur zj^i, et ainsi de suite.

Ainsi, la singularité présentée à l'origine par l'intégrale (3) est caractérisée par ce fait que z est uniforme sur une surface fie Riemann S sur laquelle il n'y a pas de fentes {coupures infranchissables) et dont chaque feuillet est relié au précédent suivant une ligne de croisement passant par un point critique unique, U y a correspondance univoque et réciproque, d'une part entre les feuillets de la surface et les déterminations de la

fonction, d'autre part entre les lignes de croisement et les points critiques.

Nous avons supposé tout à l'heure que l'exposant r- de l'égalité (3) avait une partie réelle négative. Lorsque la partie réelle de j- est positive (comprise par exemple entre i et 2), 5 admet au

voisinage de j: = o une double série de déterminations, ainsi qu'il a été expliqué à la page 72. Les déterminations de la première série, supposées écrites dans l'ordre où elles se déduisent les unes des autres autour de l'origine, forment une série unilinéaire. Traçons alors une coupure suivant un rajon mené de l'origine à l'infini et ne passant par aucun des points critiques Xj de z] puis construisons une surface de Riemann S| formée de feuillets superposés -/y, reliés entre eux suivant la coupure considérée : il résulte du Tableau de la page 72 que le feuillet Sj contient un point critique unique, ^y, de z^ et que z est sur la surface S^ une fonction à deux branches. En d'autres termes, en tout point de la surface S|, 2 a au plus deux déterminations, une de la première série et une de la seconde.

Il est assez naturel de se demander s'il existe des types généraux de fonctions présentant les caractères que nous venons d'analyser, ou des caractères analogues plus ou moins complexes. Peutêtre trouverait-on dans cet ordre d'idées un principe de classification des points critiques transcendants présentés par les fonctions multiformes. Mais, avant d'aborder l'étude des cas généraux, il conviendra de préciser davantage les indications fournies par la considération des cas particuliers les plus simples.

Faisons d'abord quelques remarques complémentaires sur l'intégrale (3) dans le cas où la partie réelle de Ai est négative. Au lieu de définir z comme fonction uniforme d'un point variable sur une surface de Riemann S, nous pourrions nous proposer [d'exprimer les deux variables x et -s en fonction uniforme d'un même paramètre t, La question revient à établir une correspondance univoque et réciproque entre les points de la surface de Riemann S et les points du plan d'une variable t. Le plan t se trouvera alors divisé en une série de régions distinctes R|, R2, ... correspondant

aux feuillets S ^^ S^t • • • de la surface S, en sorte qu'à une valeur quelconque de t il correspondra une valeur unique de z.

Je dis que nous réaliserons une telle correspondance en posant

S-t-X. .^ 2-J-Xi .^

— r — ■ It — r — = it

(5) C'a? = Aie ^1 cosf — i{'i-{-hi) e ^1 sin^ (G'=const.),

d'où résulte

^,dx a ( t>. -+- X , ) — ?— ^ it .

G -7- = e ^1 sinf.

En effet, d'après cette dernière égalité, --r: s'annule lorsque t = kiz

(A" entier). Les valeurs correspondantes de Çlx sont, lorsque k est pair (A* = a/c'),

Kk'i'K ^ ,, . l.ki'ïZ

—i \-1kiT. —r —

01 X = Xi« ^i = Xic '« ;

lorsque A* est impair (/c = 2A"'-f- 1),

/ 2 N IHr

G'a7 = — Aie ^>^i -^izzAi^'i

• Choisissons C de manière que À = Xq, Xq étant le point critique de z défini page 68 : la fonction t de x admettra comme points

critiques (à distance finie) les points ûrf(=Xoe ^^ , c'est-à-dire les points critiques mêmes de l'intégrale z.

Considérons alors le long de la coupure x^ les deux déterminations de t qui se permutent autour de Xfc Lorsque x décrit la coupure Xfc chacune de ces déterminations décrit (dans le plan t) une ligne continue allant du point t = ktz à l'infini; l'ensemble des deux lignes ainsi définies forme une courbe d'un seul tenant, L^, qui partage le plan des t en deux régions. D'ailleurs, les courbes Ly, La, correspondant à deux coupures différentes xy, Xkt ne sauraient se couper, puisque x est fonction uniforme de t et que les coupures Xj^ Xfç ne se rencontrent pas; d'ailleurs, Ly 4 et Ly.^.^ sont de part et d'autre de Ly. Dès lors, les différentes courbes La partagent le plan des t en un ensemble de régions Ra qui correspondent point par point aux feuillets de S. On en conclut que l'intégrale ^ est une fonction uniforme de t.

C'est là un nouveau trait distinctif de la singularité présentée à

Forigine par l'intégrale (3) : on peut exprimer x et z en fonction d'un paramètre t, x(t) étant la fonction définie par V égalité (5) et z(t) étant uni j orme.

Les diverses représentations de z que nous venons d'étudier sont valables pour toute valeur de x et non pas seulement au voisinage de l'origine. Ces représentations caractérisent donc la singularité <r ^ 00 de z en même temps que la singularité x^=.o. Voyons comment se présenterait la singularité :r = oo, si on la ramenait à l'origine par le changement de variable x == Ç~*.

Tandis que les points critiques X\^ x.y^ ... de 5 convergent vers ^ = 0, nous avons vu que les points critiques appelés ^i, ^-21 • • • s'éloignent vers l'infini. Posons alors x k = Çj*. La fonction z(^) admet une infinité de points critiques S^, Ço? ••• qui convergent vers Ç = o, et, autour de ces points, dans l'ordre où ils sont écrits, se permutent les déterminations ^|, . . ., -5>t, ... de 5. Tout se passe jusqu'ici comme pour la singularité x =o étudiée plus haut. Mais (c'est. là ce qui est nouveau) l'origine est pour z(^y point transcendant directement critique en même temps que point transcendant indirectement critique. Reportons-nous, en effet, a

la page 69, figure 2. Partons du point Çi avec la détermination iv de — > qui est supposée tendre vers iVi lorsque q^ s'éloigne indéfiniment sur le rayon O^^^, et parcourons dans un sens convenable le contour du cercle de centre O et de rayon O^^i : nous nous trouvons tourner successivement autour des points critiques j?«, ^2î etc. Donc, après chaque tour, nous revenons en y, avec une nouvelle détermination de z'. On en conclut que z a une infinité de déterminations qui s'échangent entre elles (*) autour du point Ç = o, déterminations qui appartiennent d'ailleurs à l'ensemble des déterminations z fc déjà obtenues en tournant autour des seuls points critiques algébriques $)t, sans tourner autour de Ç = o. D'où cette conclusion : la singularité Ç == o de z{\) se distingue de la singularité :r = Ç~* = o par ce caractère qu'«7 existe au voisinage

(^) Le même raisonnement prouverait que ^ = permute une infinité de

déterminations de Zy égales à lim w^ \ pour ^ = 0.

de ^ = o plusieurs combinaisons différentes de permutations élémentaires (permutations opérées par des lacets élémentaires) qui échangent entre elles les mêmes déterminations .

La même particularité se rencontrera chez de nombreuses fonctions. Considérons, par exemple, la fonction y de a: définie par F égalité

Cette fonction admet comme points critiques algébriques situés à distance finie les points x pour lesquels cos v -f- jjl s'annule, savoir les points