III. — L'équation [l^- -\- p' (y)] -r

Nous allons encore examiner quelques exemples sitnples de singularités transcendantes, cherchant toujours à mettre en lumière les caractères qui peuvent servir de fondement à une classification de ces singularités. Voyons d'abord ce qu'il adviendrait du dernier exemple étudié si l'on y remplaçait la fonction trigonométrique siny par une fonction elliptique.

8o CHAPITRE IIL

Considérons, en premier lieu, la fonction

u = arg.p(ir) = / —

inverse de la fonction p de Weierstrass. Supposons que, partant

de l'origine avec une détermination Uq^ nous décrivions des lacets élémentaires autour des trois points critiques a, b, c : il est clair que la détermination Uo{o) sera permutée par ces lacets avec trois

déterminations différentes wj,*', u^q\ u^^K Dès lors, les déterminations de «/, supposées écrites dans l'ordre où on les déduit les unes des autres, ne paraissent plus se ranger suivant une série unilinéaire. En effet, si dans le cas de l'intégrale (3) nous obtenions une telle série, c'est parce qu'alors une détermination quelconque ne pouvait être permutée directement (j'entends par un seul lacet élémentaire) qu'avec deux autres déterminations, savoir celle qui la précédait et celle qui la suivait dans la série. Cette condition n'étant plus réalisée, il n'est plus possible de construire une surface de Riemann jouissant des propriétés énoncées page 70. Soit, par exemple. S' une surface de Riemann dont les feuillets J'y soient reliés deux à deux suivant une ligne de croisement placée entre -^j-i et Sj suivant la coupure «, entre Sj et Sj^i suivant la coupure 6, entre J^y^.! et J^y+2 suivant la coupure c, et ainsi de suite. La fonction u n'est pas uniforme sur cette surface S'. Pour la rendre uniforme, il faudrait tracer sur S' une série de coupures que la variable serait assujettie à ne pas franchir : savoir, la coupure c dans le feuillet J'y, la coupure a dans le feuillet J^y+i, etc.

Les mêmes circonstances se présenteront pour la fonction y définie par l'égalité

fi^-i- p(7) = ^ -+- C (fjL, C = const.), c'est-à-dire pour l'intégrale générale de l'équation différentielle

Cette fonction admet comme points critiques algébriques les

CLASSIFICATION DBS POINTS SINGULIERS TRANSCENDANTS. 8f

points X correspondant aux zéros de ^-\- p\y^* Or ces zéros sont des valeurs de y qui convergent vers j^ = oo. D'autre part, on sait que, dans chaque parallélogramme des périodes, la fonction elliptique [J'--f-p'(jO si^ï^ct trois zéros simples et qu'à ces zéros correspondent des valeurs p^, p^? Pa de p qui sont les mêmes quel que soit le parallélogramme considéré (*). On en conclut que

les points critiques correspondant aux zéros de -t- convergent vers

le point X = 00, qui est dès lors, pour y^ point transcendant indirectement critique.

Cela dit, prenons d'abord jjl très petit, et suivons, à partir d'une

valeur initiale ^o? les diverses caractéristiques de y (p. 71, note) issues de l'origine. En vertu des théorèmes relatifs à la continuité des intégrales (Chap. I, § V), nous ne pouvons rencontrer sur ces caractéristiques que trois points critiques : le premier a^ voisin de a, le deuxième 60 voisin de 6, le troisième Cq voisin de c. Les valeurs prises par j' en ces points critiques sont trois zéros de [jl 4- p'(^) situés dans un même parallélogramme des périodes. D'ailleurs, si nous décrivons des lacets élémentaires autour des points «o? ^o? Co> nous revenons à Torigine avec trois

déterminations différentes y J,'\ y^^\ yV'i respectivement voisines

de <<>,<',<'.

Faisons maintenant varier [jl (à partir de [x=: o) en évitant, de passer par les quatre valeurs définies dans la note i et modifions y q] les points «o, èo? ^0 varieront d'une manière continue avec UL et To' ^^ même les valeurs correspondantes de y^ ces valeurs étant toujours trois zéros de Y'~^P'{y) situés dans un même parallélogramme des périodes. Je dis que ao, to? ^0 sont des fonctions uniformes dej^oj pour toule \d\env fixe de [x. En effet, si «oIjKo)? par exemple, n'était pas uniforme, il devrait exister certaines valeurs de y^ pour lesquelles plusieurs déterminations de «0 viendraient coïncider, pour lesquelles, en d'autres

(' ) Au cas où les deux fonctions H-H-p'C^) et p" {y) auraient des zéros communs, la fonction y admettrait des points critiques multiples. Mais aux zéros de p" correspondent quatre valeurs fixes de p' qui sont les mêmes pour tous les parallélogrammes des périodes. Si donc ( — (i.) ne coïncide avec aucune de ces quatre valeurs, on est sûr de n^avoir que des points critiques simples.

termes, y aurait plusieurs points critiques confondus en a©. Or cette circonstance ne se présente pas, puisque les zéros de [jiH- p' (jk) situés dans un parallélogramme des périodes sont des zéros simples (voir la note, p. 8i).

Nous concluons de là que, pour toute valeur donnée (fixe) de fj., les divers points critiques d'une intégrale de l'équation (6) peuvent être répartis entre trois séries : i° points ay que l'on déduit de a en faisant varier [ji avec continuité; 2** points bj déduits de b\ 3" points Cj déduits de c. Ces trois séries n'interfèrent jamais; si l'on se donne un point critique quelconque d'une intégrale y^ on peut toujours dire sans ambiguïté à quelle série il appartient. D'ailleurs, à l'ensemble des caractéristiques issues de l'origine avec une valeur initiale donnée correspondent toujours trois points critiques, un de chaque série. Si nous cherchons alors à représenter y sur une surface de Riemann, nous nous heurtons aux difficultés rencontrées pour la fonction

arg.J3(^).

Ces circonstances différencient nettement les intégrales y des

fonctions que nous avions précédemment considérées. Nous constatons que nous avons affaire à un mécanisme de permutations plus compliqué que tout à l'heure. 11 se trouve cependant qu'une circonstance, spéciale aux intégrales y^ permet de rapprocher ces intégrales des exemples étudiés aux pages 78-79.

Nous savons que la fonction w = arg.p(:z?) est à l'infini fonction

méromorphe de \Jx, Il en est de même des intégrales y. En effet, lorsque [jl est arbitrairement voisin de o et que x tend vers l'infini en ligne droite, y tend nécessairement vers un pôle de la fonction elliptique p(jk)î c'est-à-dire vers une valeur y| indépendante de [jl. Par continuité, on vérifiera de proche en proche qu'il en est ainsi quel que soit ui. D'ailleurs on a, pour y voisin de yj,

•d'où il résulte que y — 1\ est développable par rapport aux puissances entières de sjx.

Ainsi, lorsque x tourne deux fois autour du point ^ = 00, j^ ne •change pas. Mais on voit sans peine que tourner deux fois autour de j; = 00 revient à décrire six lacets fermés autour de points

critiques appartenant alternativement à la première, à la deuxième el à la troisième série. Dès lors, ici comme dans l'exemple de la page 78, deux mêmes déterminations peuvent être échangées par plusieurs combinaisons différentes de permutations. Par exemple, on obtient le même résultat en opérant successivement deux permutations des séries a, c ou quatre permutations des séries è, c, a, 6. Nous exprimerons ce fait par l'égalité symbolique ( * )

Soit alors yj une détermination quelconque à Porigine. Nous

désignerons par le symbole (o)) la quantité dont s'accroît y-j

lorsque l'on opère, à partir de jKy? les permutations («, è), et pau*

le symbole — (o)) la quantité dont s'accroît ^y lorsque l'on opère les permutations (é, a). De même, (w') exprimera le résultat des permutations (6, c) et — (w') le résultat des permutations (c, 6). Il est clair que l'on a les relations

Je dis de plus que

En effet, cette relation équivaut à

(a, 6, 6, c) = (6, c, a, 6) ou {a^c) ^^ {b, c^a,b)^

égalité que nous avons reconnue être vraie.

Cela dit, supposons qu'à partir d'une valeur initiale y^ nous -opérions un nombre pair (quelconque) de permutations. Nous

ajouterons ainsi k y^ un certain nombre de quantités (w), — (w), ((!)') ou — (w'). En vertu des relations (7) et (8), l'accroissement •de y pourra toujours être mis sous la forme

=t-.[((o), (tu), ..., (a))]±:[(a>'), ..., (w')],

^e que nous écrirons

(^) On a, d'une manière générale, l'égalité symbolique

m et n étant des entiers positifs ou négatifs. Nous appellerons (w) et (w') les périodes de l'intégrale y. D'après la relation (8), les deux périodes sont commutables. Elles se distinguent des périodes d'une fonction elliptique en ce qu'elles n'ont pas une valeur fixe,

mais varient avec la valeur initiale yj à laquelle on les ajoute. En revanche, d'après ce que nous avons dit plus haut, ces périodes ne se confondent jamais entre elles. Étant donnée une valeur initiale quelconque, on pourra toujours dire, sans ambiguïté, quelles sont les périodes (w), (o)'), — (w), — (w') qui lui correspondent.

Ces remarques faites, il sera facile d'obtenir à l'origine l'ensemble total des déterminations de l'intégrale y. Appelons yo une

détermination initiale et yo la détermination qui s'en déduit par une permutation unique opérée, par exemple, autour d'un point critique de la série a. Toutes les déterminations à Torigine seront données par les deux formules symboliques

r/n,«=ro-^'^*(w)-i-n^(w'),

m et n étant des entiers quelconques, positifs ou négatifs.

Les déterminations ym,/i et ym,n sont ici figurées suivant deux Tableaux à double entrée. Mais elles se disposeront tout naturellement en série unilinéaire si l'on pose, par exemple,

r(0)=ro, ym=yo, r(î)=ro-+-(w), r(3)=jKo-H(a)'),

yii) se déduit alors de j^(0) par une permutation a, y^^) se déduit

de y^^^ par une permutation 6, y^^^ de y^^) par une permutation c, etc. Si nous affectons les points critiques des indices i , 2, ... dans l'ordre où nous les rencontrons, nous obtenons une série de points a:^, X2, ... qui correspondent aux j^y exactement comme il arrivait dans le cas de l'intégrale (3) (p. ^4). Seulement,

les deux déterminations jKy?J^y+i qu'échange la permutation xj auraient pu également être échangées par d'autres permutations.. On voit par là combien l'existence d'une relation, telle que (a, 6, c, a, 6, c) = o, simplifie le mécanisme des permutations d'une intégrale y au voisinage de la singularité transcendante j; = oo. Qu'arriverait-il, en effet, si les périodes (w), (w') n'étaient

pas commutables? Pour échanger, par exemple, y(o)-i- '^^(w') avec y(o) 4- /^^i^) psir ^^^ série de permutations élémentaires, on serait obligé de repasser par jKfo)« Alors, comme nous le disions plus haut, il ne serait plus possible de ranger Tensemble total des déterminations en une série unilinéaire où deux déterminations consécutives seraient permutées par un lacet élémentaire; ou bien, si l'on formait une telle série, une même détermination devrait y figurer une infinité de fois. En ce cas, la succession des permutations serait comparable à un arbre dont les branches se ramifieraient à l'infini ; si un insecte voulait parcourir tout le bois de cet arbre, il devrait continuellement rétrograder vers les nœuds pour repartir sur les branches où il ne serait pas engagé au premier passage.