IV. — L'équation zz' =. z -\- \ , Considérons Téquation
Cette équation, qu'on intègre immédiatement, a pour intégrale générale
{lo) z — log(5 -h i) = a? — Xq (27o= const. arbitraire).
Nous allons nous demander par quel mécanisme les diverses branches de cette intégrale se déduisent les unes des autres.
Soient X un point très éloigné sur l'axe réel négatif et x^ un
point très éloigné sur l'axe réel positif. Lorsque x tend vers — oo,
|-2(j:)| augmente indéfiniment comme \x\. Au contraire, lorsque
j?i tend vers H-oo, z(^x^) peut, soit croître indéfiniment, soit tendre vers — i .
L'intégrale (lo) admet comme points critiques les points où z s'annule, c'est-à-dire les points
..., â7 i = a?o — 2*'T[, a^Oî iTi =: a7o -t- 2 *ir, ....
Ces points sont tous situés sur une même droite D perpendiculaire à l'axe réel.
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Si, au lieu de considérer le chemin /j, on avait considéré le chemin /| transformé de Iq par le changement de variable x^=x — 2f7t, on aurait constaté de la même manière que x\
permute Zq avec une détermination ;?„.,. En poursuivant notre raisonnement, nous arrivons donc au résultat suivant : l'intégrale (10) admet en x une série unilinéaire de déterminations
..., 5 4, i5o, >Si, ... que l'on déduit les unes des autres en tournant autour des points critiques ..., a:i, Xq^ x^^ ... dans l'ordre même où ils sont écrits; nous retombons ainsi sur le mécanisme décrit à la page 'j4- D'ailleurs, une fois ce résultat établi pour x très éloigné, on peut évidemment l'appliquer (*) à toute position
de X située. à gauche de la droite D.
Il n'en sera plus de même si nous considérons les déterminations voisines de z en un point situé à droite de la droite D. En
effet, nous avons dit qu'en x^ z di des déterminations voisines de — I et des déterminations très grandes en valeur absolue
(comparables k x^), Jl existe donc au moins un point critique qui permute Çq (voisin de — i) avec une détermination tjo de grand module. Soit jjq un tel point critique; J^o et y|o s'échangent alors le long du lacet lu^i^x^xx' x\x^). Nous savons, d'autre part, que la caractéristique issue de x^ avec la valeur Ço est encore égale
à Ço au point x\ ; on en conclut, comme tout à l'heure, que le / ^
lacet L^ transformé de Lq par le changement de variable
;r' = ^ + 2 i u permute encore X^q et v)©; d'ailleurs, la caractéris- ^'
tique égale à r^^ enx\ prend enxx une valeur de grand module y|<
différente de 7^0 ; il en résulte que le chemin fermé [x^ x\ , L» ,a'^ xi) \ ^ permute Xo avec 7^1. En d'autres termes, Çq etyj^ s'échangent autour du point Xi . Le même raisonnement prouvera, d'une manière générale, que le point Xj permute J^o avec une détermination de grand module ïjy différente de tjoî ''Im D'où cette conclusion :
I** L'ensemble des caractéristiques issues de X\ avec la va^ leur J^o présente une infinité de points critiques ..., ^«, ^o? X,, ... qui permutent respectivement ^q avec ..., Tj,, tjo? "Oi; ••• i
(') On verra sans peine que l'on peut appliquer toutes ces conclusions à l'équation plus générale zz' = az -{- à.
3® U ensemble des caractéristiques issues de Xt avec la valeur rio présente un seul point critique a:©» lequel permute ijo avec Ço-
Aussi, à l'inverse de ce qui se passait dans tous les exemples considérés plus haut, il n\y a pas de succession de déterminations au point J7,. Une intégrale quelconque de l'équation (lo) n'admet en x^ qu'une seule détermination JT© tendant vers — i
lorsque x^ tend vers -4- oo, et cette détermination s'échange avec les déterminations 7\ par un ensemble de permutations qui sont simultanées, non successives.
L'exemple de l'équation (lo) nous apprend que la succession des déterminations d'une fonction multiforme peut varier avec les régions où nous nous plaçons. Lorsque nous chercherons à caractériser cette succession, nous devrons donc toujours spécifier où nous l'étudions.
