V. — Premier type de jtoints transcendants

de première espèce.

Nous venons de passer en revue un certain nombre de singularités transcendantes présentant des particularités diverses. Ces particularités sont-elles spéciales aux exemples que nous avons étudiés ou caractérisent-elles, au contraire, certaines catégories générales de points singuliers? Pour nous en rendre compte, nous allons rechercher sous quelles conditions une singularité transcendante appartiendra à tel ou tel des types que nous avons mis en lumière. Nous commencerons par le type le plus simple, celui qui a été décrit aux pages 74-77*

Considérons un point transcendant (isolé) non directement critique, mais point-limite de points critiques algébriques. Nous supposerons ce point à Vorigine et nous appellerons {y) l'ensemble des branches qui se permutent entre elles au voisinage de o, c'est-à-dire dans un certain cercle F de centre o. Nous admettrons de plus que chacun des points critiques algébriques contenus dans F permute deux déterminations seulement. (S'il n'en était pas ainsi, nous considérerions que plusieurs points cri-

tiques sont confondus et nous affecterions d'indices différents les diverses permutations opérées autour de ces points.)

Par chaque point critique menons une coupure joignant le point au contour de F. La coupure sera rectiligne ou curviligne, mais nous supposerons qu'elle ne s'enroule pas une infinité de fois autour de l'origine (c/. p. 66, note i) et qu'aucun de ses points n'est point critique ou point-limite de points critiques. Si la singularité transcendante étudiée est isolée, on pourra construire une infinité de systèmes de coupures satisfaisant à cette condition et, de plus, ne se coupant pas entre elles.

Tourner autour d'un point critique équivaut à franchir la coupure correspondante (c/. p. 3i). A un point critique Xj correspondent donc (une fois que l'on a adopté un système déterminé de coupures) deux déterminations, et deux seulement : ce sont celles qui se permutent entre elles le long d'un lacet qui contourne Xj sans franchir aucune des coupures relatives aux autres

points critiques. Nous appellerons jKycn ^'^ yj{i>> l^s valeurs de ces déterminations à Torigine en un point fixe x lié à l'origine par un chemin invariable (c/. p. 72).

Ces préliminaires admis, supposons que l'on puisse disposer DU système des coupures de manière qu'a une détermination

QUELCONQUE DE L*ENSEMBLE (j^) AU POINT X IL CORRESPONDE, SUI- VANT les conventions ADOPTÉKS, DEUX POINTS CRITIQUES DISTINCTS (et deux seulement) pouvant PERMUTER CETTE DÉTERMINATION

AVEC d'autres. Nous supposons, en d'autres termes, qu'une détermination quelconque devient uniforriie dans F dès que x est assujetti à ne pas franchir deux coupures (et deux seulement).

Partons alors d'une détermination jv'^**^ àç^ y[x) et appelons ^i, Xq les points critiques qui la permutent. Nous pouvons poser

Posons ensuitejK^'^ = yo(2) • à la détermination j^*^ correspondra, outre ^05 iJn point critique que nous appellerons x^ ; nous poserons

alors j^(*^ = j^ifi^, j^,(2)=J^^"^; et ainsi de suite.

Les déterminations . . ., y^~^\y^'^\ y^^\ . . . forment une série unilinéaire et on les déduit les unes des autres en tournant autour des points critiques . . ., x x^ Xo, ^«, ... dans l'ordre des indices

croissants ou décroissants. D'ailleurs (puisqu'il existe par hypothèse une infinité de points critiques convergeant vers l'origine et permutant entre elles une infinité de déterminations) l'une au moins des deux suites (^i, x^^ . . .), (^o ^-2? ...) converge vers l'origine. Nous supposerons que ce soit le cas pour la première suite : alors les considérations qui précèdent s'appliquent à des valeurs positives arbitrairement grandes de l'indice y.

Le mécanisme des permutations Xj est donc exactement celui que nous avons décrit page 74» En particulier l'ensemble (y) est uniforme (au voisinage de l'origine) sur une surface de Riemann S construite comme il a été dit page 7 5. Cette surface ne contient pas de fente, et les feuillets S j et -/y+i sont reliés par une ligne de croisement unique placée suivant la coupure Xj,

Les coupures j?y sont, avons-nous dit, rectilignes ou curvilignes. Nous allons nous borner au cas le plus simple, et supposer qu'elles sont rectilignes; plus précisément même (afin de nous rapprocher le plus possible de l'exemple du paragraphe IJ), nous allons admettre que la coupure Xj est placée suwant le prolongement du rayon oxj compris entre le point Xj et le contour F.

Lorsque la singularité à l'origine présente ces caractères, on peut obtenir par un procédé très simple toutes les déterminations qui se permutent en son voisinage. Soit c un cercle concentrique à r ayant pour rayon p. Puisque les points Xj convergent vers l'origine, nous sommes assurés qu'à partir d'une certaine valeur dey,

Fig. 4.

on a |^y|<;p. Partons alors de l'origine avec la détermination

qui correspond k y^J\ rendons-nous le long d'un rayon en un point du contour de c, puis parcourons ce contour. On voit que si nous décrivons le contour de c dans un sens convenable {fig- 4) nous nous trouverons tourner successivement autour des points

^y, ^/4-2 5 •••» points qui permutent la suite des déterIninations^

D'ailleurs, quelque petit que soit p', on a, à partir d'une certaine valeur de A", | xj^ft] <C p'. Jl en résulte que, pour tourner autour des points Xjj Xj^^^ ... on peut, au lieu de décrire le contour de c, suivre une spirale qui s^ enroule autour de V origine et enlace les points Xj^ ^y+i? • • • dans ses spires successives. Cette spirale pourra converger d^ autant plus rapidement vers l^ origine que les points xj, «^y+i? • • • tendront eux-mêmes plus vite vers o.

Quel sera, d'une manière précise, l'effet d'un tour effectué le

long de c? Plaçons le point x (relié à l'origine par un chemin

invariable) sur le contour de c; puis, partant de x avecy^-/^, décrivons une/ois le contour de c dans un sens tel que nous franchissions, la coupure xj avant de franchir la coupure Xj i (^fig* 4)« La

nouvelle détermination obtenue en x sera j/0+0 dans le cas où,

après avoir franchi la coupure Xj^ nous revenons en x sans avoir

rencontré la coupure Xjj^\ . Dans le cas contraire, la nouvelle déter-?

mination sera j/^./"^*^ (A* >> o). Mais C entier k sera, quel que soitj, inférieur à un nombre fixe m, à moins que la différence des afi'gumen^s de xj^ xj^k fi^ tende vers o lorsque ( * ) / et k augmentent indéfiniment. Nous écarterons ce dernier cas. [S'il se présentait (=*), la spirale définie plusha^ut pourrait se réduire à une courbe qui convergerait vers l'origine sans s'enrouler une infinité de fois autour d'elle.]

Dans ces conditions, nous allons obtenii* un utile renseigneBo^ai relatif à la' ou aux branehes-limites de l'ensemble des détermina^ tiens (y) (voir Chap. [, § 4). Supposons (pour pouvoir appliqueir le théorème de la page 26) que le cercle F ne contienne pas de pointsrlimites d'intersections des branches {y}] puis considérons wût ensemble partiel de déterminations (jr} qui convergent

vers une branche-limite Y^ défiiiie par la valeur Y\*^ qu'elle prend

( • ) Nous supposons donc que l'angle dont doit tourner Ve rayon^ vecteur 0a7j lorsque (se mouvant toujours dans le même sens) il va passer successivement par hft' points critiques d?,,..., j? , augmente indéfitiiinent avec/. •

('?') C'est ce qui arriverait pour l'exemple du paragpaphe IV si l'on faisait lef changement de variable a;= Ç~'. '

92 CHAPITRE m.

en un point donné x. Je dis que cette branche-limite Y| est partout méromorphe dans le cercle F, sauf peut-être à V origine.

En effet, joignons (par une droite) le point j; à un point quelconque x' de r. Nous sommes assurés qu'à partir d'une certaine

valeur de l'indice k les caractéristiques issues de x avec les déterminations jk^*^> y^^^\ ••• sont toutes méromorphes au voisinage de oc' , Il en résulte que Y^ n'a dans F d'autre singularité que peut-être l'origine (qui est alors point directement critique de Y|). Il est souvent possible d'aller plus loin et de montrer que la fonction-limite \\ est uniforme dans le cercle F. Il en est ainsi en particulier lorsque l'origine est une singularité transcendante de l'espèce qui nous occupe pour l'intégrale générale de l'équation différentielle

où f est uniforme au voisinage de ;r = o, j^ = Y. Nous nous contenterons d'énoncer ce résultat sans démonstration.

Les points transcendants que nous étudions présentent cette particularité que l'ordre de succession des permutations Xj est un ordre déterminé. En d'autres termes, il y a correspondance univoque et réciproque entre un point critique et son conséquent Xj^x . Si donc on considère Xj^^ comme étant une certaine fonction discontinue de Xj (définie pour les valeurs x^^ x^, ... de Xj)^ cette fonction est uniforme ainsi que son inverse. D'ailleurs on peut transformer cette fonction discontinue en fonction continue au moyen d'une formule d'interpolation. Plaçons-nous dans le cas particulier où l^on peut choisir la fonction continue de manière qu^elle soit holomorphe (*) dans un cercle F ayant pour centre le point transcendant que nous prendrons comme origine. Cette fonction (si l'on remplace Xj par x) sera de la forme

(il) ©(a?)= CiiT-i- Cja?*-}-. .,,

(*) Od reconnattrait aisément qu'il en est ainsi lorsque Teasemble des branches {y ) est défini par une équation différentielle y' '==■ f ^x^ y)^ où / est méromorphe pour X voisin de o et y égal aux branches (^).

et Ton aura

Par hypothèse, les points Xj convergent vers o. Nous supposerons ici plus précisément que, quel que soit x dans un cercle F de centre o, la fonction ?[?>.• •[ç(^)]- • •] tende uniformément vers o lorsque le nombre des cp superposés croit indéfiniment ( * ). Nous appellerons la fonction ç période ^des points critiques; la singularité transcendante que nous étudions est sAor s caractérisée par ce fait quUl lui correspond une [période des points critiques unique.

L'existence d'une période des points critiques permettra d'obtenir simplement une représentation de la fonction y (x)^ analogue à celle qui a été donnée page 77.

Plaçons-nous (je me bornerai à l'étude de ce cas) dans l'hypo-

thèse où le rapport — ^ admet une limite non nulle et différente

de I . Cette hypothèse revient à admettre que le coefficient c^ du développement (i i) n'est égal ni à o ni à 1. Nous allons chercher à faire un changement de variable

(19.) u =^ ^{x) = kix -h k2X^'^. . .

jouissant de cette propriété que les égalités

entraînent, pour une valeur quelconque de l'indice «,

Ui-i-i = Cl Ui,

Nous aurons

C| Ui = kl Cl Xi'\' k^Cixf -h,^.

et [en remplaçant Xi^t par f (^/)]

Ui^i = X:i ( C] a?/ -H c? -h . . . ) -H ÂTj ( Cl a?,- -h . • . )* -H. . • .

(*) On pourrait présenter la même hypothèse sous la forme suivante (que l'on démontrerait être équivalente) ; posons ^ {\x\) = \CiX\ -\- \c^x^\ -\-,. .', on suppose que la fonction 4>[<t>. .. [<t>(| x I)]. . .] tend uniformément vers o lorsque

le nombre des <t> superposés croit indéfiniment et que \x\ est inférieur à un certain nombre positif /*. On voit que, si cette hypothèse est satisfaite pour un certain système de valeurs des | c |, elle est sûrement satisfaite pour toutes les valeurs moindres des \c\. — Nous ne nous demanderons pas ici s'il existe des points transcendants de l'espèce étudiée ne satisfaisant pas aux diverses conditions posées ci-dessus; la question, toutefois, vaudrait la peine d'être étudiée.

Si nous identifions, dans ces deux égalités, les coefficients des puissances semblables des ^/, nous aurons, pour déterminer les A*/, les égalités suivantes :

(i3) { ksid — c]) = kiÇ3-h ikiCiCi,

Puisque Ci n'est pas égal à 1, les relations linéaires (i3) permettront de déterminer successivement A'2, A"3, ... en fonction de kt qui reste arbitraire (non nul). Ainsi, il sera toujours possible de calculer les coefficients de la série (12). Reste à montrer que cette série est absolument convergente au voisinage de x = o.

Pour établir ce point, nous aurons recours à l'artifice suivant. Supposons que les modules des coefficients Co, C3, . . ., étant d'abord nuls, croissent à partir de o [cela de telle sorte que la fonction (f{x) (*) continue à satisfaire dans F aux conditions énoncées page g'i]. Lorsque les modules |c< |, \c2\j ... sont très petits, la série (12) converge certainement dans tout cercle Fi intérieur à F. Est-il possible que, pour certaines valeurs des c, cette série cesse de converger dans F| et converge seulement dans un cercle F' concentrique et intérieur à Fi ?

Je dis que cela est impossible. Et, en effet, appelant x un point quelconque du contour de F<, posons

(i4) x'=<^{x), x'^^Cx'), ..., x^^' = (f(x^^-^y).

D'après l'hypothèse relative à la convergence uniforme de la

fonction of© . . . [o(^)] • • •]> ^^ peut toujours trouver un entier A"

tel que le point x^^^ correspondant à un point x quelconque du contour Fi soit intérieur au cercle F'. La fonction ^(x^^^) sera alors holomorphe pour les valeurs considérées des c. Or on aura, par définition,

égalités qui ne peuvent évidemment cesser d^être vérifiées lorsque

(*) Voir p. 93, note i.

les coefficients c varient d'une manière quelconque à partir de o. Il en résulte que, si ^(:^;^*^) est holomorphe pour certaines valeurs

de x^^\ ^\^) est nécessairement holomorphe pour les valeurs

correspondantes de x. Donc '\(x) ne cesse pas d'être holomorphe dans le cercle Y ^ tout entier. c. q. f. d.

L'existence de la fonction ^ une fois établie, nous sommes certains, puisque k{^o^ que la fonction inverse de ^ est une fonction holomorphe de u au voisinage de w = o. Or, d'après les calculs de la page 77, nous saurons exprimer les deux variables y et u en fonction uniforme d'un même paramètre t. Le problème se trouvera donc également résolu pour les variables y et x.