VI. — Défi nition générale des points de première espèce

Nous avons insisté quelque peu sur le type le plus simple de points transcendants, celui dont nous avions rencontré un cas particulier aux pages 67-73. 11 nous sera facile maintenant de passer à des types plus généraux, en nous inspirant des divers -exemples étudiés aux paragraphes III et IV.

1° Supposons, d'une manière générale, que l'on puisse ranger l'ensemble des déterminations (y) [qui s'échangent entre elles, par les permutations xj (*), dans un cercle F entourant l'origine] en une série unilinéaire où chaque détermination ne figure qu'une fois ou un nombre fini de fois; supposons, d'autre part, que l'on puisse disposer les coupures définies page 89 de manière qu'à tout couple de deux déterminations consécutives il corresponde une et une seule permutation élémentaire échangeant ces déterminations : nous dirons alors que l'origine est un point transcendant de première ESPÈCE, DE LA PREMIÈRE SORTE ET DU PREMIER TYPE.

(*) Si l'origine était un point transcendant directement critique, il y aurait ui^e

infinité de points critiques confondus à l'origine. Mais chaque nouveau tour décrit

autour de Torigine (échangeant deux déterminations nouvelles) constituerait une

nouvelle permutation. Nous considérerions donc qu'autour de l'origine s'opérènt

.une infinité de permutations, les permutations ..., œ^^ â?,, ..., or^, ..,.

Dans ces conditions l'ensemble (y) sera uniforme (au voisinage de Porigine) sur une surface de Riemann S, dont chaque feuillet sera relié au précédent suivant une ligne de croisement passant par un point critique unique. Il y aura correspondance univoque et réciproque, d'une part entre les feuillets de la surface et les déterminations de la fonction, d'autre part entre les lignes de croisement et les points critiques.

2" Supposons qu'il existe un ensemble partiel de déterminations j^i, j^o, ... (déduites les unes des autres par les permutations Xj) qui jouissent des propriétés énoncées ci-dessus, mais qu'en outre la détermination yy soit échangée, par un nombre fini de permutations ^y,<, ^7,2? • . .? -^y,*? avec un nombre fini de déterminations nouvelles jj^y^i, yj\2f •••? yj,fti ^^h ^^ 1^"^ côté, ne s'échangent (par permutation élémentaire) qu'avec jKy (les permutations ^y,i, ..., xj^ff constituent alors des impasses, comme il a été dit page ^3) : lorsqu'il en est ainsi, nous dirons que l'origine est

un POIJNT TRANSCENDANT DE PREMIERE ESPECE, DE LA PREMIERE SORTE ET DU SECOND TYPE.

Dans ces conditions, on pourra encore construire la surface de Riemann S; mais sur chacun des feuillets de cette surface (ou sur certains d'entre eux) la fonction (yj pourra acquérir un nombre fini de déterminations. D'ailleurs, du groupe de déterminations représentées dans le feuillet Sj^ on ne pourra passer à d'autres groupes qu'à condition de franchir l'une des deux lignes de croisement qui relient Sj aux feuillets Sj i ou ^j^^ (c/. p. 76).

3" Supposons encore que l'on puisse ranger l'ensemble des déterminations (y) en une série unilinéaire ^ "f y-ij yoj yi^ •••? où chaque détermination ne figure qu'une fois (ou un nombre fini de fois), deux déterminations consécutives quelconques étant échangées par une permutation élémentaire unique. A la série des déterminations (y) correspond alors une suite de permutations . élémentaires . . ., :r|, Xqj x^^ .... Mais supposons que dans cette suite ne figurent pas toutes les permutations que l'on peut opérer au voisinage de l'origine. Cela revient à dire [puisque toutes les déterminations [y) figurent dans la suite . • • > ^o? JK< ? • • • ] q^e deux mêmes déterminations {y) peus^ent être échangées par plusieurs combinaisons différentes de permutations (cf, p. [78 et suivantes). Lorsqu'il en est ainsi, nous dirons que l'origine est un

POINT TRANSCENDANT DE PREMIERE ESPECE, DE LA SECONDE SORTE ET DU PREMIER TYPE.

Dans ces conditions, l'ensemble (y) sera uniforme (à l'intérieur du contour entourant l'origine) sur une surface de Riemann S, dont chaque feuillet sera relié au précédent par une ligne de croisement passant par un point critique unique; mais sur chaque feuillet (ou sur certains feuillets) se trouveront des fentes (coupures infranchissables) : ces fentes joindront au contour de F les points critiques dont nous ne nous servons pas pour déduire les unes des autres les déterminations ..., jK i, jKo? JKm -- - •> ^^ d'autres termes, les points critiques qui ne figurent pas dans la suite ..., x i, Xq^ Xs^ .... Il y aura correspondance univoque et réciproque entre les feuillets de la surface et les déterminations de la fonction, mais non plus entre les lignes de croisement et les points critiques.

4" Enfin, lorsque l'origine présente à la fois les particularités qui caractérisent les deux derniers cas définis, nous dirons que l'origine est un point transcendant dk première espèce, de la

SECONDE sorte ET DU SECOND TYPK.

VIL — Exemple de point transcendant de seconde espèce.

Je n'entreprendrai pas de donner ici la définition générale des points transcendants d'espèce supérieure à la première. Je me contenterai de montrer par un exemple qu'il existe effectivement de tels points.

Considérons l'équation différentielle

(i5) zz'= Aj2 -H Aj,

où Aa et A3 sont des polynômes en x dont les degrés m., et ni^ satisfont à l'inégalité ma ^ 2 7^2 + 2. Grâce aux résultats obtenus au Chapitre II (p. 56-6o), il nous sera facile d'étudier le mécanisme des permutations d'une branche d'intégrale de (i5) au voisinage de ^ = 00. A titre d'exemple, nous allons examiner le cas où /n3= 2, "d'où résulte m2 = o. L'équation (i5) peut s'écrire en ce cas

(16) « = V^Ç, C=V^C-+-3:rî-Haa7^-p

yï CH4nTmc m.

^t'^r on [f^ni loijjoijr>> etT*rcluer un cFiii Défraie ni de variable de la

formf: ^- /^ \r, /.'x . rendant l€r§ eoefticienls de^ I et x- ës3ux a I et >],

Xoo% a^orjs %ij 'p. 5fy • que *ur FeiLseiiiible des caràclérisliques

de i(î' j*%ije% de I origine a\ec une valeur initiale très grande ^y Vî trouvent /Wj-f-i 'ici trois* points critiques que nous appelle-

vun^Xa,)', Xh.j-, y^c.j» Ces points sont d'autant plus éloignés que | Ty j e^t pluî)|rrand, Xb^j, Xc.j étant alors très \oisinsdes racines «autres que Xa.j , du polynôme jr' — ^\.y

Mf^notib par les [Kiinl» critiques d'une intéjrrale Z des coupures rectî lignes joignant ces points à l'infini. Le système de coupures ainM construit satisfait aux conditions de la paî:e 89 : mais à une détermination donnée correspondent^ cette fois • suivant les conventions adoptées p. 89 », non plus deux, mais trois points critir/ues pouvant permuter cette détermination avec d^ autres. Cette constatation nous suggère l'idée de rapprocher l'intégrale ^ de la fonction

étudiée au paragraphe III de ce Chapitre.

Partant de Torigine avec la détermination ÎJ, décrivons un lacet élémentaire autour du point Xaj- Nous obtenons une nouvelle

détermination Çy^i à laquelle correspondent trois points critiques, dont l'un est Xajj les deux autres j?^j+i, Xcj^i étant respectivement très voisins des racines (autres que Xaj) du polynôme x^ — x^^j. Par conséquent, lorsqu'on opère la perm,utation Xaji les points critiques Xbj-, Xcj subissent des déplacements qui, si l'on a pris \ Xaj \ assez <^rand, sont arbitrairement petits par rapport à \xbj\, \ Xcj\^

Traçons alors dans le plan des IJ un cercle D de rayon assez

grand pour que, lorsque IJy est extérieur à D, les points critiques Xaj^ ^bji ^cj soient tous supérieurs au nombre r défini page 5(Kce qui assure la légitimité des calculs des pages 56-6o). Partons d'une valeur initiale Çy extérieure à D et opérons une série (le permutations élémentaires qui nous ramènent à l'origine avec

des déterminations Çy|.i, î^y+aî ••• toutes extérieures à D. Nous désignerons respeclivement par Xajj^k-, -..? ^cj^k les trois points

critiques correspondant à ^j^k qui sont voisins (comme nous venons de le voir) des points critiques Xaj^(k-i)', •••? ^c,y+(A-i) correspondant à Xj^(k-i)' Opérant ainsi de proche en proche à partir

de Çy, nous ferons correspondre à chaque détermination ^j^k un point critique et un seul de chacune des séries a, 6, c.

Cela dit, désignons par le signe (w) la quantité dont s'accroît Çy

lorsque l'on opère, à partir de ^y, une permutation de la série a suivie d'une permutation de la série b : ce que nous exprimerons par l'égalité symbolique (cf. p. 83)

Posons de même

Si nous appelons ÎJy la détermination déduite de Çy par une permutation élémentaire opérée, par exemple, autour du point critique de la série a, toutes les déterminations yi^ seront données par les deux formules symboliques

l JKy -H mi^(w)-f-/i,^(w') -+-...,

m^J rii^ niij /f2j ..• étant des entiers positifs ou négatifs. Tout se passe jusqu'ici comme dans l'exemple de la page 83, où l'on trouvera l'explication des symboles que nous employons ici. Mais, dans les formules de la page 83, les combinaisons de permutations (ci>), ((!)') satisfaisaient à une relation remarquable qui nous avait permis de rassembler tous les termes en (w) et tous les termes en (w') : c'était, à savoir, la relation de commulabilité

<i8) ((to), (w') = (o)'), (a>)) ou (a, 6, c, a, 6, c) = o.

Aurons-nous, dans le cas des intégrales Ç, une relation semblable?

Pour effectuer successivement les permutations («, 6, c, a, 6, c) il suffit de s'éloigner de l'origine vers l'infini le long d'un rayon, puis de tourner deux fois dans un sens convenable autour de l'infini. Se peut-il que ces deux tours décrits autour de l'infini ne modifient pas la valeur de IJ?

100 CHAPITBE III.

Nous savons que les caractéristiques issues de l'origine avec la

valeur initiale JJy ne sont pas indéterminées pour jc = oo, mais deviennent infinies comme x^ [égalité (28) de la page 5-]. Posons alors

la branche d'intégrale 8 que nous considérons au voisinage de. l'infini y prend une valeur finie. Faisons maintenant x = Ç~*. Dire que l'intégrale finie n'est pas altérée lorsque x décrit deux tours autour de x = ao revient à dire que cette intégrale 6 est une fonction holomorphe de $ au voisinage de Ç = o. Or, un calcul facile montre que satisfait à l'équation

(19) j^=6(e-i)-^25/ê-2a$*-2pt*.

Cette équation admet une infinité d'intégrales égales à i pour $ = o ; mais l^ origine est en général pour ces intégrales un point singulier transcendant. C'est là un fait que l'on vérifiera aisément en substituant à un développement holomorphe à coefficients indéterminés

et constatant que ce développement ne saurait satisfaire à l'équation (19). L'équation (19) appartient au type d'équations que nous étudierons aux pages 124-126; pour représenter ses intégrales il faudrait faire appel à un développement procédant suivant les puissances de $ et de logÇ.

Conclusion : la relation fie commutabilité (18) n'est pas satisfaite pour les intégrales ^, Dès lors, dans les formules (17), nous n'avons pas le droit d'intervertir l'ordre des termes, et, pour déduire les unes des autres l'ensemble des déterminations d'une intégrale Ç, il faudra que nous revenions indéfiniment sur nos pas (c/. p. 85).

L'origine, par conséquent, n'est pas, pour l'équation (i5), un. point de première espèce.